与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^3(3x+1)$ (2) $y = -\log(\cos x)$ (3) $y = \frac{1 - 3\sin x}{2\cos x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin^3(3x+1)$

(2) $y = -\log(\cos x)$

(3) $y = \frac{1 - 3\sin x}{2\cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^3(3x+1)$ の微分

これは合成関数の微分です。まず、$u = \sin(3x+1)$ とおくと、$y = u^3$ となります。

さらに、$v = 3x+1$ とおくと、$u = \sin v$ となります。

連鎖律を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2 = 3\sin^2(3x+1)$

$\frac{du}{dv} = \cos v = \cos(3x+1)$

$\frac{dv}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3\sin^2(3x+1) \cdot \cos(3x+1) \cdot 3 = 9\sin^2(3x+1)\cos(3x+1)$

(2) $y = -\log(\cos x)$ の微分

これも合成関数の微分です。$u = \cos x$ とおくと、$y = -\log u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{u} = -\frac{1}{\cos x}$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

(3) $y = \frac{1 - 3\sin x}{2\cos x}$ の微分

これは商の微分法を使います。

$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

$f(x) = 1 - 3\sin x$, $g(x) = 2\cos x$

$f'(x) = -3\cos x$, $g'(x) = -2\sin x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(-3\cos x)(2\cos x) - (1-3\sin x)(-2\sin x)}{(2\cos x)^2}$

$= \frac{-6\cos^2 x + 2\sin x - 6\sin^2 x}{4\cos^2 x}$

$= \frac{-6(\cos^2 x + \sin^2 x) + 2\sin x}{4\cos^2 x}$

$= \frac{-6 + 2\sin x}{4\cos^2 x}$

$= \frac{-3 + \sin x}{2\cos^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 9\sin^2(3x+1)\cos(3x+1)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \tan x$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x - 3}{2\cos^2 x}$