定積分 $\int_{0}^{1} (x+1)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (x+1)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^3$ を展開します。

$(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

次に、展開した式を積分します。

$\int (x^3 + 3x^2 + 3x + 1) dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x + C$

積分範囲は0から1なので、積分結果にそれぞれ1と0を代入して差を求めます。

$\left[ \frac{1}{4}x^4 + x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4}(1)^4 + (1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + (1) \right) - \left( \frac{1}{4}(0)^4 + (0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + (0) \right)$

$= \frac{1}{4} + 1 + \frac{3}{2} + 1 - 0$

$= \frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{2}$

$= \frac{1}{4} + \frac{8}{4} + \frac{6}{4}$

$= \frac{15}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{15}{4}$