* $\sin(-\frac{5\pi}{6})$ * $\cos(\frac{3\pi}{4})$ * $\tan(\frac{7\pi}{6})$

解析学三角関数対数微分不定積分積分合成関数部分積分置換積分
2025/8/4
## 数学の問題
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1. 問題の内容

この問題は、三角関数の値を求める問題、対数の計算問題、関数の微分問題、不定積分の計算問題から構成されています。具体的には、

1. 三角関数の値を求める問題が3問:

* sin(5π6)\sin(-\frac{5\pi}{6})
* cos(3π4)\cos(\frac{3\pi}{4})
* tan(7π6)\tan(\frac{7\pi}{6})

2. 対数の計算問題が2問:

* log2427+3log223\log_{2}\frac{4}{27} + 3\log_{2}\frac{2}{3}
* 2log10310log10302\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{10} - \log_{10}30

3. 関数の微分問題が9問:

* y=x4y = x^4
* y=3xy = 3\sqrt{x}
* y=cosxy = \cos x
* y=x3sinxy = x^3 \sin x
* y=tanx+exy = \tan x + e^x
* y=cosx2y = \cos x^2
* y=(x2+1)1/3y = (x^2+1)^{-1/3}
* y=xxy = x^x
* y=xe2x+3y = xe^{2x+3}

4. 不定積分の計算問題が9問:

* (x2+1)dx\int (x^2 + 1) dx
* cosxdx\int \cos x dx
* xexdx\int xe^x dx
* 2xdx\int 2\sqrt{x} dx
* 1xlogxdx\int \frac{1}{x \log x} dx
* 2x3dx\int \sqrt{2x-3} dx
* 124xdx\int_{-1}^{2} 4x dx
* 0πsinxdx\int_{0}^{\pi} \sin x dx
* 1e(logx)2xdx\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx
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2. 解き方の手順

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1. 三角関数の値を求める問題**

(1) sin(5π6)\sin(-\frac{5\pi}{6})
* sin(θ)=sin(θ)\sin(-\theta) = -\sin(\theta) の関係を使う。
* sin(5π6)=sin(ππ6)=sin(π6)=12\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}
(2) cos(3π4)\cos(\frac{3\pi}{4})
* cos(3π4)=cos(ππ4)=cos(π4)=22\cos(\frac{3\pi}{4}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
(3) tan(7π6)\tan(\frac{7\pi}{6})
* tan(7π6)=tan(π+π6)=tan(π6)=13=33\tan(\frac{7\pi}{6}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
**

2. 対数の計算問題**

(1) log2427+3log223\log_{2}\frac{4}{27} + 3\log_{2}\frac{2}{3}
* log2427=log24log227=2log233=23log23\log_{2}\frac{4}{27} = \log_{2}4 - \log_{2}27 = 2 - \log_{2}3^3 = 2 - 3\log_{2}3
* 3log223=3(log22log23)=3(1log23)=33log233\log_{2}\frac{2}{3} = 3(\log_{2}2 - \log_{2}3) = 3(1 - \log_{2}3) = 3 - 3\log_{2}3
* log2427+3log223=(23log23)+(33log23)=56log23\log_{2}\frac{4}{27} + 3\log_{2}\frac{2}{3} = (2 - 3\log_{2}3) + (3 - 3\log_{2}3) = 5 - 6\log_{2}3
(2) 2log10310log10302\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{10} - \log_{10}30
* 2log10310=2(log103log1010)=2(12log1031)=log10322\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{10} = 2(\log_{10}\sqrt{3} - \log_{10}10) = 2(\frac{1}{2}\log_{10}3 - 1) = \log_{10}3 - 2
* log1030=log10(3×10)=log103+log1010=log103+1\log_{10}30 = \log_{10}(3 \times 10) = \log_{10}3 + \log_{10}10 = \log_{10}3 + 1
* 2log10310log1030=(log1032)(log103+1)=32\log_{10}\frac{\sqrt{3}}{10} - \log_{10}30 = (\log_{10}3 - 2) - (\log_{10}3 + 1) = -3
**

3. 関数の微分問題**

(1) y=x4y = x^4
* dydx=4x3\frac{dy}{dx} = 4x^3
(2) y=3x=3x12y = 3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}
* dydx=312x12=32x\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}
(3) y=cosxy = \cos x
* dydx=sinx\frac{dy}{dx} = -\sin x
(4) y=x3sinxy = x^3 \sin x
* 積の微分法: d(uv)dx=uv+uv\frac{d(uv)}{dx} = u'v + uv'
* dydx=3x2sinx+x3cosx\frac{dy}{dx} = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x
(5) y=tanx+exy = \tan x + e^x
* dydx=1cos2x+ex=sec2x+ex\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos^2 x} + e^x = \sec^2 x + e^x
(6) y=cosx2=cos(x2)y = \cos x^2 = \cos(x^2)
* 合成関数の微分法: dydx=dydududx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}
* dydx=sin(x2)2x=2xsin(x2)\frac{dy}{dx} = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)
(7) y=(x2+1)1/3y = (x^2+1)^{-1/3}
* 合成関数の微分法
* dydx=13(x2+1)432x=2x3(x2+1)43\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{3}(x^2+1)^{-\frac{4}{3}} \cdot 2x = -\frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac{4}{3}}}
(8) y=xxy = x^x
* 両辺の対数を取る: logy=xlogx\log y = x \log x
* 両辺を微分: 1ydydx=logx+x1x=logx+1\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1
* dydx=y(logx+1)=xx(logx+1)\frac{dy}{dx} = y(\log x + 1) = x^x (\log x + 1)
(9) y=xe2x+3y = xe^{2x+3}
* 積の微分法と合成関数の微分法
* dydx=1e2x+3+xe2x+32=e2x+3+2xe2x+3=(1+2x)e2x+3\frac{dy}{dx} = 1 \cdot e^{2x+3} + x \cdot e^{2x+3} \cdot 2 = e^{2x+3} + 2xe^{2x+3} = (1+2x)e^{2x+3}
**

4. 不定積分の計算問題**

(1) (x2+1)dx\int (x^2 + 1) dx
* x2dx+1dx=x33+x+C\int x^2 dx + \int 1 dx = \frac{x^3}{3} + x + C
(2) cosxdx\int \cos x dx
* sinx+C\sin x + C
(3) xexdx\int xe^x dx
* 部分積分法: udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du
* u=x,dv=exdxu = x, dv = e^x dx とすると du=dx,v=exdu = dx, v = e^x
* xexdx=xexexdx=xexex+C=(x1)ex+C\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C
(4) 2xdx=2x12dx\int 2\sqrt{x} dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} dx
* 223x32+C=43x32+C=43xx+C2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C
(5) 1xlogxdx\int \frac{1}{x \log x} dx
* 置換積分法: u=logxu = \log x とすると du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx
* 1udu=logu+C=loglogx+C\int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C
(6) 2x3dx\int \sqrt{2x-3} dx
* 置換積分法: u=2x3u = 2x-3 とすると du=2dxdu = 2 dx より dx=12dudx = \frac{1}{2}du
* u12du=12u12du=1223u32+C=13(2x3)32+C=13(2x3)2x3+C\int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}(2x-3)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}(2x-3)\sqrt{2x-3} + C
(7) 124xdx\int_{-1}^{2} 4x dx
* 4xdx=2x2\int 4x dx = 2x^2
* [2x2]12=2(22)2(1)2=82=6[2x^2]_{-1}^{2} = 2(2^2) - 2(-1)^2 = 8 - 2 = 6
(8) 0πsinxdx\int_{0}^{\pi} \sin x dx
* sinxdx=cosx\int \sin x dx = -\cos x
* [cosx]0π=cos(π)(cos(0))=(1)(1)=1+1=2[-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2
(9) 1e(logx)2xdx\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx
* 置換積分法: u=logxu = \log x とすると du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx
* x=1x=1 のとき u=log1=0u = \log 1 = 0, x=ex=e のとき u=loge=1u = \log e = 1
* 01u2du=[u33]01=133033=13\int_{0}^{1} u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
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3. 最終的な答え

1. 三角関数の値

* (1) 12-\frac{1}{2}
* (2) 22-\frac{\sqrt{2}}{2}
* (3) 33\frac{\sqrt{3}}{3}

2. 対数の計算

* (1) 56log235 - 6\log_{2}3
* (2) 3-3

3. 微分

* (1) 4x34x^3
* (2) 32x\frac{3}{2\sqrt{x}}
* (3) sinx-\sin x
* (4) 3x2sinx+x3cosx3x^2 \sin x + x^3 \cos x
* (5) sec2x+ex\sec^2 x + e^x
* (6) 2xsin(x2)-2x\sin(x^2)
* (7) 2x3(x2+1)43-\frac{2x}{3(x^2+1)^{\frac{4}{3}}}
* (8) xx(logx+1)x^x (\log x + 1)
* (9) (1+2x)e2x+3(1+2x)e^{2x+3}

4. 不定積分

* (1) x33+x+C\frac{x^3}{3} + x + C
* (2) sinx+C\sin x + C
* (3) (x1)ex+C(x-1)e^x + C
* (4) 43xx+C\frac{4}{3}x\sqrt{x} + C
* (5) loglogx+C\log |\log x| + C
* (6) 13(2x3)2x3+C\frac{1}{3}(2x-3)\sqrt{2x-3} + C
* (7) 66
* (8) 22
* (9) 13\frac{1}{3}

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