条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、関数 $f(x, y) = x^2 + y$ の最大値と最小値を求めます。ラグランジュの未定乗数法を用います。

## 問3

1. 問題の内容

条件 $x^2 + 2y^2 = 1$ の下で、関数 $f(x, y) = x^2 + y$ の最大値と最小値を求めます。ラグランジュの未定乗数法を用います。

2. 解き方の手順

ラグランジュ関数 $L(x, y, \lambda)$ を以下のように定義します。

$L(x, y, \lambda) = x^2 + y - \lambda(x^2 + 2y^2 - 1)$

偏微分を計算し、連立方程式を解きます。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 2x - 2\lambda x = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 4\lambda y = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x^2 + 2y^2 - 1 = 0$

最初の式から、$2x(1 - \lambda) = 0$ より、$x = 0$ または $\lambda = 1$ が得られます。

* $x = 0$ の場合:

第3の式から、$2y^2 = 1$ となり、$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ が得られます。

このとき、$f(0, \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ と $f(0, -\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

* $\lambda = 1$ の場合:

第2の式から、$1 - 4y = 0$ となり、$y = \frac{1}{4}$ が得られます。

第3の式から、$x^2 + 2(\frac{1}{16}) = 1$ となり、$x^2 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ より、$x = \pm \sqrt{\frac{7}{8}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{4}$ が得られます。

このとき、$f(\pm \frac{\sqrt{14}}{4}, \frac{1}{4}) = \frac{7}{8} + \frac{1}{4} = \frac{9}{8}$ です。

各点での $f(x, y)$ の値を比較します。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$

$-\frac{1}{\sqrt{2}} \approx -0.707$

$\frac{9}{8} = 1.125$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{9}{8}$

最小値: $-\frac{1}{\sqrt{2}}$

## 問4

1. 問題の内容

二重積分 $\int_{0}^{3} \int_{\sqrt{x}}^{3} e^{x} y dy dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

積分の順序を変更して計算します。積分領域は $0 \le x \le 3$, $\sqrt{x} \le y \le 3$ です。

これは $0 \le y \le 3$, $0 \le x \le y^2$ と書き換えられます。したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{3} \int_{0}^{y^2} e^{x} y dx dy$

まず、$x$ について積分します。

$\int_{0}^{3} [e^{x} y]_{0}^{y^2} dy = \int_{0}^{3} (e^{y^2} y - y) dy$

次に、$y$ について積分します。$\int_{0}^{3}e^{y^2}y dy$ は、$t=y^2$とおくと、$dt = 2y dy$より、$y dy = \frac{1}{2}dt$となり、積分範囲は$0 \to 9$となるので

$\int_{0}^{3}e^{y^2}y dy = \int_0^9 e^t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2}[e^t]_0^9 = \frac{1}{2}(e^9 - 1)$

$\int_{0}^{3}y dy = [\frac{1}{2}y^2]_0^3 = \frac{9}{2}$

よって、

$\int_{0}^{3} (e^{y^2} y - y) dy = \frac{1}{2}(e^9 - 1) - \frac{9}{2} = \frac{e^9 - 10}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^9 - 10}{2}$

## 問5

1. 問題の内容

二重積分 $\iint_{D} \sqrt{x^2 + y^2} dx dy$ を計算します。積分領域 $D$ は $\{(x, y) | x^2 + y^2 \le 4, x \ge 0, y \ge 0\}$ です。

2. 解き方の手順

積分領域が円の一部なので、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行います。

$dx dy = r dr d\theta$ となります。

積分領域は $0 \le r \le 2$, $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ となります。

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} r dr d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} r^2 dr d\theta$

まず、$r$ について積分します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [\frac{1}{3}r^3]_{0}^{2} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3} d\theta$

次に、$\theta$ について積分します。

$[\frac{8}{3}\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4\pi}{3}$

## 問6

1. 問題の内容

三重積分 $\iiint_{D} dz dy dx$ を計算します。積分領域 $D$ は $\{(x, y, z) | x^2 + y^2 \le x, z^2 \le 4x\}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$z$ について積分します。

$\iint_{D'} [z]_{-2\sqrt{x}}^{2\sqrt{x}} dy dx = \iint_{D'} 4\sqrt{x} dy dx$

ただし、$D'$は$x^2+y^2 \le x$です。

$D'$は$(x-\frac{1}{2})^2 + y^2 \le (\frac{1}{2})^2$と書き換えられます。極座標変換$x = r\cos\theta + \frac{1}{2}$, $y = r\sin\theta$を行うと、$dxdy = rdrd\theta$となり、積分範囲は$0 \le r \le \frac{1}{2}$, $0 \le \theta \le 2\pi$

したがって

$\iint_{D'} 4\sqrt{x} dy dx = \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}}4\sqrt{r\cos\theta+\frac{1}{2}}r dr d\theta$

この積分は実行が困難です。

元の積分に戻り、$x^2+y^2 \le x$を$x$について解くと、$x^2-x+y^2 \le 0$より$(x-\frac{1}{2})^2 \le \frac{1}{4}-y^2$なので、$\frac{1}{2}-\sqrt{\frac{1}{4}-y^2} \le x \le \frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-y^2}$となる。

また$x^2+y^2 \le x$を$y$について解くと、$y^2 \le x-x^2$なので$-\sqrt{x-x^2} \le y \le \sqrt{x-x^2}$となる。$x-x^2 \ge 0$より$0 \le x \le 1$

$\int_0^1\int_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}}4\sqrt{x} dy dx = \int_0^1 4\sqrt{x} [y]_{-\sqrt{x-x^2}}^{\sqrt{x-x^2}}dx = \int_0^1 4\sqrt{x} 2\sqrt{x-x^2}dx=8\int_0^1 \sqrt{x^2-x^3}dx=8\int_0^1x\sqrt{1-x}dx$

ここで、$t=1-x$とおくと、$x=1-t$、$dx = -dt$、積分範囲は$1 \to 0$

$8\int_1^0 (1-t)\sqrt{t}(-dt) = 8\int_0^1 (1-t)t^{\frac{1}{2}}dt = 8\int_0^1 (t^{\frac{1}{2}}-t^{\frac{3}{2}})dt = 8[\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}t^{\frac{5}{2}}]_0^1 = 8(\frac{2}{3}-\frac{2}{5}) = 8(\frac{10-6}{15}) = \frac{32}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{15}$