与えられた積分を計算する問題です。具体的には以下の積分を計算します。 (1) $\int (x^2 + 1) dx$ (2) $\int \cos x dx$ (3) $\int xe^x dx$ (4) $\int 2\sqrt{x} dx$ (5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$ (6) $\int \sqrt{2x - 3} dx$ (7) $\int_{-1}^{2} 4x dx$ (8) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx$ (9) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算する問題です。具体的には以下の積分を計算します。

(1) $\int (x^2 + 1) dx$

(2) $\int \cos x dx$

(3) $\int xe^x dx$

(4) $\int 2\sqrt{x} dx$

(5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

(6) $\int \sqrt{2x - 3} dx$

(7) $\int_{-1}^{2} 4x dx$

(8) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx$

(9) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$

2. 解き方の手順

各積分を個別に計算します。

(1) $\int (x^2 + 1) dx$

多項式の積分なので、各項を積分します。

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_1$

$\int 1 dx = x + C_2$

したがって、$\int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x + C$ （$C = C_1 + C_2$）

(2) $\int \cos x dx$

$\cos x$ の積分は $\sin x$ です。

$\int \cos x dx = \sin x + C$

(3) $\int xe^x dx$

部分積分を使います。$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int u dv = uv - \int v du$ なので、

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C$

(4) $\int 2\sqrt{x} dx$

$2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$なので、

$\int 2x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$ なので、

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

(6) $\int \sqrt{2x - 3} dx$

$u = 2x - 3$ とすると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$ なので、

$\int \sqrt{2x - 3} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x - 3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $\int_{-1}^{2} 4x dx$

$\int 4x dx = 2x^2 + C$ なので、

$\int_{-1}^{2} 4x dx = [2x^2]_{-1}^{2} = 2(2^2) - 2(-1)^2 = 8 - 2 = 6$

(8) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx$

$\int \sin x dx = -\cos x + C$ なので、

$\int_{0}^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(9) $\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$ であり、$x = 1$ のとき $u = \log 1 = 0$、$x = e$ のとき $u = \log e = 1$ なので、

$\int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int_{0}^{1} u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + x + C$

(2) $\sin x + C$

(3) $xe^x - e^x + C$

(4) $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $\log |\log x| + C$

(6) $\frac{1}{3} (2x - 3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $6$

(8) $2$

(9) $\frac{1}{3}$