与えられた積分問題を解きます。 (1) $\int (x^2 + 1) dx$ (2) $\int \cos x dx$ (3) $\int xe^x dx$ (4) $\int 2\sqrt{x} dx$ (5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$ (6) $\int \sqrt{2x-3} dx$ (7) $\int_{-1}^2 4x dx$ (8) $\int_0^{\pi} \sin x dx$ (9) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

はい、承知いたしました。画像にある積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。

(1) $\int (x^2 + 1) dx$

(2) $\int \cos x dx$

(3) $\int xe^x dx$

(4) $\int 2\sqrt{x} dx$

(5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

(6) $\int \sqrt{2x-3} dx$

(7) $\int_{-1}^2 4x dx$

(8) $\int_0^{\pi} \sin x dx$

(9) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (x^2 + 1) dx$

$\int x^2 dx + \int 1 dx = \frac{x^3}{3} + x + C$

(2) $\int \cos x dx = \sin x + C$

(3) $\int xe^x dx$ (部分積分)

$u = x, dv = e^x dx$ とすると、$du = dx, v = e^x$

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$

(4) $\int 2\sqrt{x} dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$

$\int \frac{1}{x \log x} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |\log x| + C$

(6) $\int \sqrt{2x-3} dx$

$u = 2x - 3$ とすると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$

$\int \sqrt{2x-3} dx = \int \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x-3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $\int_{-1}^2 4x dx = [2x^2]_{-1}^2 = 2(2^2) - 2(-1)^2 = 8 - 2 = 6$

(8) $\int_0^{\pi} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

(9) $\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$

$x = 1$ のとき $u = \log 1 = 0$

$x = e$ のとき $u = \log e = 1$

$\int_1^e \frac{(\log x)^2}{x} dx = \int_0^1 u^2 du = [\frac{u^3}{3}]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^3}{3} + x + C$

(2) $\sin x + C$

(3) $(x-1)e^x + C$

(4) $\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$

(5) $\log |\log x| + C$

(6) $\frac{1}{3} (2x-3)^{\frac{3}{2}} + C$

(7) $6$

(8) $2$

(9) $\frac{1}{3}$