広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ の収束・発散を調べる問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ の収束・発散を調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を評価します。

$|xe^{-2x}(1 + \cos x)| \le |xe^{-2x}(1 + 1)| = 2xe^{-2x}$

積分 $\int_{0}^{\infty} 2xe^{-2x} dx$ を考えます。この積分を計算するために、部分積分を用います。

$u = x, dv = 2e^{-2x}dx$ とすると、$du = dx, v = -e^{-2x}$ となります。よって、

$\int_{0}^{\infty} 2xe^{-2x} dx = \int_{0}^{\infty} x d(-e^{-2x}) = [-xe^{-2x}]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} -e^{-2x} dx$

$= \lim_{x \to \infty} (-xe^{-2x}) - (-0e^{-2\cdot 0}) + \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{e^{2x}} + \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx$

$\lim_{x \to \infty} \frac{-x}{e^{2x}}$ はロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{-1}{2e^{2x}} = 0$

また、

$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (-\frac{1}{2}e^{-2x}) - (-\frac{1}{2}e^{-2 \cdot 0}) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

したがって、$\int_{0}^{\infty} 2xe^{-2x} dx = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ となり、収束します。

$\int_{0}^{\infty} 2xe^{-2x} dx$ が収束するので、優関数の定理より、$\int_{0}^{\infty} xe^{-2x}(1 + \cos x) dx$ も絶対収束し、収束します。

3. 最終的な答え

収束