$a$を定数とするとき、方程式$2x-1 = ae^{-x}$の異なる実数解の個数を求める。ただし、$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x} = 0$ を利用してよい。

1. 問題の内容

$a$を定数とするとき、方程式$2x-1 = ae^{-x}$の異なる実数解の個数を求める。ただし、$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x} = 0$ を利用してよい。

2. 解き方の手順

方程式を変形して、$a$について解く。

$a = \frac{2x-1}{e^{-x}} = (2x-1)e^x$

$f(x)=(2x-1)e^x$ とおく。$y=f(x)$と$y=a$のグラフの交点の個数が、方程式の実数解の個数に一致する。

$f'(x)$を求める。

$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$

$f'(x)=0$となる$x$を求める。

$f'(x)=0 \Leftrightarrow (2x+1)e^x=0 \Leftrightarrow 2x+1=0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{2}$

$f(x)$の増減表を書く。

$x < -\frac{1}{2}$ で$f'(x) < 0$ であり、$x > -\frac{1}{2}$ で$f'(x) > 0$である。

$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2})-1)e^{-\frac{1}{2}} = (-1-1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

また、

$\lim_{x\to\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty}(2x-1)e^x = \infty$

$\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to-\infty}(2x-1)e^x = 0$

(なぜなら、$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{e^x} = 0$ より、$\lim_{x\to-\infty}xe^x = 0$ なので)

したがって、$y=f(x)$ のグラフと $y=a$ のグラフの交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

$a \ge 0$ のとき、1個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

$a \ge 0$ のとき、1個