次の関数を$x$について微分しなさい。 $\frac{d}{dx} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 x}\right)$

1. 問題の内容

次の関数を$x$について微分しなさい。

$\frac{d}{dx} \left(1 - \frac{1}{\cos^2 x}\right)$

2. 解き方の手順

まず、$1 - \frac{1}{\cos^2 x}$を整理します。$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$なので、

$1 - \frac{1}{\cos^2 x} = 1 - \sec^2 x$

三角関数の恒等式より、$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$であるから、$1 - \sec^2 x = -\tan^2 x$となります。

したがって、

$\frac{d}{dx} (1 - \frac{1}{\cos^2 x}) = \frac{d}{dx} (1 - \sec^2 x) = \frac{d}{dx} (-\tan^2 x)$

$-\tan^2 x$を微分します。合成関数の微分を行うと、

$\frac{d}{dx} (-\tan^2 x) = -2 \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\tan x)$

$\tan x$の微分は$\sec^2 x$なので、

$-2 \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) = -2 \tan x \sec^2 x$

ここで、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$、$\sec x = \frac{1}{\cos x}$なので、

$-2 \tan x \sec^2 x = -2 \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos^2 x} = -2 \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

別の解法としては、$\frac{d}{dx} (1 - \frac{1}{\cos^2 x}) = \frac{d}{dx} (1 - (\cos^2 x)^{-1})$と見て、合成関数の微分を適用することも可能です。

$\frac{d}{dx} (1 - (\cos^2 x)^{-1}) = 0 - (-1)(\cos^2 x)^{-2} \cdot (2\cos x)(-\sin x) = -2 \frac{\cos x \sin x}{\cos^4 x} = -2 \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

3. 最終的な答え

$-2 \frac{\sin x}{\cos^3 x}$