この問題は、次の2つの関数を簡略化することです。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

1. 問題の内容

この問題は、次の2つの関数を簡略化することです。

(1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$

$x = \tan \theta$ と置換します。

$\theta = \tan^{-1} x$

このとき、$\sqrt{1 + x^2} = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$となります。

したがって、

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \frac{\sin \theta / \cos \theta}{1 / \cos \theta} = \sin \theta$

$y = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} x$

(2) $y = \tan^{-1} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

三角関数の半角の公式を用います。

$1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

したがって、

$\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \tan \frac{x}{2}$

$y = \tan^{-1} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{x}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \tan^{-1} x$

(2) $y = \frac{x}{2}$