関数 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3\cos 2x$ について、 $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $f(x) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3\cos 2x$ について、 $0 \le x < 2\pi$ のとき、方程式 $f(x) = a$ の相異なる解が4個であるような実数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sin x$ とおきます。

次に、$f(x)$ を $t$ の式で表します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$f(x) = 2\sin^2 x + 4\sin x + 3(1 - 2\sin^2 x) = 2t^2 + 4t + 3 - 6t^2 = -4t^2 + 4t + 3$

したがって、$f(x) = -4t^2 + 4t + 3$ となります。

次に、$g(t) = -4t^2 + 4t + 3$ とおき、$g(t)$ のグラフを考えます。

$g(t) = -4(t^2 - t) + 3 = -4(t - \frac{1}{2})^2 + 1 + 3 = -4(t - \frac{1}{2})^2 + 4$

$t = \sin x$ なので、$-1 \le t \le 1$ です。

$g(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ で最大値 $4$ をとり、$t = -1$ で最小値 $-4 - 4 + 3 = -5$ をとります。

$t = 1$ のとき $g(1) = -4 + 4 + 3 = 3$ となります。

方程式 $f(x) = a$ が4つの解を持つためには、$g(t) = a$ となる $t$ の値が、$-1 < t < 1$ の範囲に2つ存在する必要があります。

$t = \sin x$ なので、$0 \le x < 2\pi$ において、$-1 < t < 1$ となる $t$ の値1つに対して、$x$ の値は2つ存在します。

したがって、$g(t) = a$ となる $t$ の値が $-1 < t < 1$ の範囲に2つ存在すれば、方程式 $f(x) = a$ は4つの解を持ちます。

$g(t) = a$ のグラフと $t$ 軸との交点の $t$ 座標が $-1 < t < 1$ の範囲に2つ存在する条件は、

$-1 < t < 1$ における $g(t)$ の値域が $a$ の範囲に含まれることです。

$t = \frac{1}{2}$ で最大値 $4$ をとり、$t = -1$ で $g(-1) = -5$ 、 $t = 1$ で $g(1) = 3$ なので、 $3 < a < 4$ のとき、$g(t) = a$ は $-1 < t < 1$ の範囲に2つの解を持ちます。

3. 最終的な答え

$3 < a < 4$