次の2つの曲線について、原点を通る接線を求めます。 (1) $y = \sqrt{2x-1}$ (2) $y = e^{-x}$

1. 問題の内容

次の2つの曲線について、原点を通る接線を求めます。

(1) $y = \sqrt{2x-1}$

(2) $y = e^{-x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{2x-1}$ の場合

ステップ1: 接点の座標を仮定する

接点の$x$座標を$t$とすると、$y$座標は$\sqrt{2t-1}$となるので、接点の座標は$(t, \sqrt{2t-1})$と表せる。

ステップ2: 微分を計算する

$y = \sqrt{2x-1}$を$x$で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{2x-1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

よって、$x=t$における接線の傾きは$\frac{1}{\sqrt{2t-1}}$となる。

ステップ3: 接線の方程式を求める

接線の方程式は、

$y - \sqrt{2t-1} = \frac{1}{\sqrt{2t-1}}(x-t)$

と表せる。

ステップ4: 原点を通る条件を適用する

接線が原点$(0, 0)$を通るので、$x=0, y=0$を代入すると、

$0 - \sqrt{2t-1} = \frac{1}{\sqrt{2t-1}}(0-t)$

$-\sqrt{2t-1} = -\frac{t}{\sqrt{2t-1}}$

$2t-1 = t$

$t = 1$

ステップ5: 接線の方程式を求める

$t = 1$を接線の方程式に代入すると、

$y - \sqrt{2(1)-1} = \frac{1}{\sqrt{2(1)-1}}(x-1)$

$y - 1 = x - 1$

$y = x$

(2) $y = e^{-x}$ の場合

ステップ1: 接点の座標を仮定する

接点の$x$座標を$t$とすると、$y$座標は$e^{-t}$となるので、接点の座標は$(t, e^{-t})$と表せる。

ステップ2: 微分を計算する

$y = e^{-x}$を$x$で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = -e^{-x}$

よって、$x=t$における接線の傾きは$-e^{-t}$となる。

ステップ3: 接線の方程式を求める

接線の方程式は、

$y - e^{-t} = -e^{-t}(x-t)$

と表せる。

ステップ4: 原点を通る条件を適用する

接線が原点$(0, 0)$を通るので、$x=0, y=0$を代入すると、

$0 - e^{-t} = -e^{-t}(0-t)$

$-e^{-t} = te^{-t}$

$-1 = t$

$t = -1$

ステップ5: 接線の方程式を求める

$t = -1$を接線の方程式に代入すると、

$y - e^{-(-1)} = -e^{-(-1)}(x-(-1))$

$y - e = -e(x+1)$

$y - e = -ex - e$

$y = -ex$

3. 最終的な答え

(1) $y = x$

(2) $y = -ex$