正の数 $x, y$ が与えられた不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 \frac{y^2}{2\sqrt{2}x^2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $X = \log_2 x$, $Y = \log_2 y$ とおいて、与えられた不等式を $X, Y$ で表す。 (2) (1)で求めた不等式の表す領域を $XY$ 平面に図示する。 (3) $xy$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める。

1. 問題の内容

正の数 $x, y$ が与えられた不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 \frac{y^2}{2\sqrt{2}x^2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $X = \log_2 x$, $Y = \log_2 y$ とおいて、与えられた不等式を $X, Y$ で表す。

(2) (1)で求めた不等式の表す領域を $XY$ 平面に図示する。

(3) $xy$ の最小値と、そのときの $x, y$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式を変形する。まず、与えられた不等式を整理する。

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le \log_2 y^2 - \log_2(2\sqrt{2}x^2)$

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le 2\log_2 y - (\log_2 2 + \log_2 \sqrt{2} + \log_2 x^2)$

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le 2\log_2 y - (1 + \frac{1}{2} + 2\log_2 x)$

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \le 2\log_2 y - \frac{3}{2} - 2\log_2 x$

$X = \log_2 x$, $Y = \log_2 y$ を代入すると、

$X^2 + Y^2 \le 2Y - \frac{3}{2} - 2X$

$X^2 + 2X + Y^2 - 2Y \le -\frac{3}{2}$

$(X+1)^2 - 1 + (Y-1)^2 - 1 \le -\frac{3}{2}$

$(X+1)^2 + (Y-1)^2 \le 2 - \frac{3}{2}$

$(X+1)^2 + (Y-1)^2 \le \frac{1}{2}$

(2) $XY$ 平面に図示する。

これは、中心 $(-1, 1)$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部（境界を含む）を表す。

(3) $xy$ の最小値を求める。

$xy = 2^{\log_2 x} \cdot 2^{\log_2 y} = 2^{\log_2 x + \log_2 y} = 2^{X+Y}$

$X+Y = k$ とおくと、$Y = -X + k$ となる。

この直線と円 $(X+1)^2 + (Y-1)^2 = \frac{1}{2}$ が共有点を持つ条件を考える。

円の中心 $(-1, 1)$ と直線 $X+Y-k = 0$ の距離が、円の半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 以下であるとき、共有点を持つ。

$\frac{|(-1) + 1 - k|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\frac{|-k|}{\sqrt{2}} \le \frac{1}{\sqrt{2}}$

$|k| \le 1$

$-1 \le k \le 1$

よって、$-1 \le X+Y \le 1$ である。

$X+Y$ の最小値は $-1$ であるから、

$xy = 2^{X+Y} \ge 2^{-1} = \frac{1}{2}$

$xy$ の最小値は $\frac{1}{2}$ である。

最小値をとるとき、$X+Y = -1$ であるから、$Y = -X-1$

円 $(X+1)^2 + (Y-1)^2 = \frac{1}{2}$ と直線 $Y = -X-1$ の接点を求める。

$(X+1)^2 + (-X-1-1)^2 = \frac{1}{2}$

$(X+1)^2 + (-X-2)^2 = \frac{1}{2}$

$X^2 + 2X + 1 + X^2 + 4X + 4 = \frac{1}{2}$

$2X^2 + 6X + 5 = \frac{1}{2}$

$4X^2 + 12X + 10 = 1$

$4X^2 + 12X + 9 = 0$

$(2X+3)^2 = 0$

$X = -\frac{3}{2}$

$Y = -X-1 = -(-\frac{3}{2}) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$x = 2^X = 2^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$y = 2^Y = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(X+1)^2 + (Y-1)^2 \le \frac{1}{2}$

(2) 中心 $(-1, 1)$、半径 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の円の内部（境界を含む）

(3) $xy$ の最小値は $\frac{1}{2}$ であり、そのときの $x = \frac{\sqrt{2}}{4}, y = \sqrt{2}$ である。