正の数 $x, y$ が与えられた不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{y^2}{2\sqrt{2}x^2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。 (1) $X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ とおいて、与えられた不等式を $X, Y$ で表せ。 (2) (1)で求めた不等式の表す領域を$XY$平面に図示せよ。 (3) $xy$の最小値と、そのときの$x, y$の値を求めよ。

1. 問題の内容

正の数 $x, y$ が与えられた不等式 $(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq \log_2 \frac{y^2}{2\sqrt{2}x^2}$ を満たすとき、以下の問いに答える。

(1) $X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ とおいて、与えられた不等式を $X, Y$ で表せ。

(2) (1)で求めた不等式の表す領域を$XY$平面に図示せよ。

(3) $xy$の最小値と、そのときの$x, y$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた不等式を変形する。

$\log_2 \frac{y^2}{2\sqrt{2}x^2} = \log_2 y^2 - \log_2 (2\sqrt{2}x^2) = 2\log_2 y - \log_2 (2\cdot 2^{1/2} \cdot x^2) = 2\log_2 y - (\log_2 2 + \log_2 2^{1/2} + \log_2 x^2) = 2\log_2 y - (1 + \frac{1}{2} + 2\log_2 x) = 2\log_2 y - 2\log_2 x - \frac{3}{2}$

したがって、与えられた不等式は

$(\log_2 x)^2 + (\log_2 y)^2 \leq 2\log_2 y - 2\log_2 x - \frac{3}{2}$

$X = \log_2 x, Y = \log_2 y$ を代入すると、

$X^2 + Y^2 \leq 2Y - 2X - \frac{3}{2}$

$X^2 + 2X + Y^2 - 2Y \leq -\frac{3}{2}$

$(X^2 + 2X + 1) + (Y^2 - 2Y + 1) \leq -\frac{3}{2} + 1 + 1$

$(X+1)^2 + (Y-1)^2 \leq \frac{1}{2}$

(2) $(X+1)^2 + (Y-1)^2 \leq \frac{1}{2}$ は、$XY$平面において、中心が$(-1, 1)$、半径が$\frac{1}{\sqrt{2}}$の円の内部を表す。

(3) $xy$ の最小値を求める。

$\log_2 (xy) = \log_2 x + \log_2 y = X + Y = k$ とおくと、 $Y = -X + k$ である。

これを円の方程式に代入すると、

$(X+1)^2 + (-X + k - 1)^2 \leq \frac{1}{2}$

$(X+1)^2 + (X - k + 1)^2 \leq \frac{1}{2}$

$X^2 + 2X + 1 + X^2 - 2(k-1)X + (k-1)^2 \leq \frac{1}{2}$

$2X^2 + (2 - 2k + 2)X + 1 + (k-1)^2 - \frac{1}{2} \leq 0$

$2X^2 + (4 - 2k)X + \frac{1}{2} + k^2 - 2k + 1 \leq 0$

$2X^2 + (4 - 2k)X + k^2 - 2k + \frac{3}{2} \leq 0$

判別式 $D = (4 - 2k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k^2 - 2k + \frac{3}{2}) = 16 - 16k + 4k^2 - 8k^2 + 16k - 12 = -4k^2 + 4 = 4(1 - k^2) \geq 0$

$1 - k^2 \geq 0$ より $k^2 \leq 1$ なので $-1 \leq k \leq 1$

したがって、$k = \log_2 (xy)$ の最小値は $-1$ である。

$\log_2 (xy) = -1$ のとき、$xy = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

このとき、円と直線の接点を求める。

$D = 0$ より、 $k = \pm 1$ であり、最小値は $k = -1$

$2X^2 + (4 - 2(-1))X + (-1)^2 - 2(-1) + \frac{3}{2} = 0$

$2X^2 + 6X + 1 + 2 + \frac{3}{2} = 0$

$2X^2 + 6X + \frac{9}{2} = 0$

$4X^2 + 12X + 9 = 0$

$(2X+3)^2 = 0$

$X = -\frac{3}{2}$

$Y = -X + k = - (-\frac{3}{2}) + (-1) = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$x = 2^X = 2^{-3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$y = 2^Y = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$xy$の最小値: $\frac{1}{2}$

そのときの$x$の値: $\frac{\sqrt{2}}{4}$

そのときの$y$の値: $\sqrt{2}$