関数 $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3$ について、区間 $0 \le x \le 4$ における最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

解析学関数の最小値微分増減表
2025/8/4

1. 問題の内容

関数 f(x)=13x332x2+2x+3f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 3 について、区間 0x40 \le x \le 4 における最小値と、そのときの xx の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(x)f(x) を微分して、極値を求める。
f(x)=x23x+2=(x1)(x2)f'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)
f(x)=0f'(x) = 0 となる xxx=1x=1x=2x=2 である。
次に、f(x)f(x) の増減表を作成する。
| x | 0 | ... | 1 | ... | 2 | ... | 4 |
| :---- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| f'(x) | | + | 0 | - | 0 | + | |
| f(x) | | ↑ | | ↓ | | ↑ | |
ここで、区間の端点 x=0,4x=0, 4 と極値を取る点 x=1,2x=1, 2 における f(x)f(x) の値を計算する。
f(0)=3f(0) = 3
f(1)=1332+2+3=29+12+186=236f(1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 + 3 = \frac{2-9+12+18}{6} = \frac{23}{6}
f(2)=83122+4+3=836+7=83+1=113f(2) = \frac{8}{3} - \frac{12}{2} + 4 + 3 = \frac{8}{3} - 6 + 7 = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}
f(4)=643482+8+3=64324+11=64313=64393=253f(4) = \frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 8 + 3 = \frac{64}{3} - 24 + 11 = \frac{64}{3} - 13 = \frac{64-39}{3} = \frac{25}{3}
これらの値を比較すると、
f(0)=3=186f(0) = 3 = \frac{18}{6}
f(1)=236f(1) = \frac{23}{6}
f(2)=113=226f(2) = \frac{11}{3} = \frac{22}{6}
f(4)=253f(4) = \frac{25}{3}
したがって、最小値は f(2)=113f(2) = \frac{11}{3} ではない。誤り。
f(2)=836+7=83+1=1133.66f(2)=\frac{8}{3} - 6 + 7 = \frac{8}{3}+1=\frac{11}{3} \approx 3.66
2363.83\frac{23}{6} \approx 3.83
2538.33\frac{25}{3} \approx 8.33
最小値はf(0)=3f(0) = 3

3. 最終的な答え

最小値は3であり、その時のxの値は0である。
したがって、選択肢2が答えである。
答え: 2

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