曲線 $y = x^3 - 2x^2 - 8x$ と放物線 $y = x^2 - 4x - 12$ で囲まれる図形の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x^2 - 8x$ と放物線 $y = x^2 - 4x - 12$ で囲まれる図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めるために、方程式を立てて解きます。

$x^3 - 2x^2 - 8x = x^2 - 4x - 12$

$x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

$(x^2 - 4)(x - 3) = 0$

$(x - 2)(x + 2)(x - 3) = 0$

よって、交点のx座標は $x = -2, 2, 3$ です。

次に、それぞれの区間でどちらの関数が大きいかを調べます。

- $x = -2$ から $x = 2$ の区間では、$x=0$のとき、$y = x^3 - 2x^2 - 8x$ は $0$ であり、$y = x^2 - 4x - 12$ は $-12$ です。また、$x = 1$の時、$y = x^3 - 2x^2 - 8x$ は$1-2-8=-9$ であり、$y = x^2 - 4x - 12$ は$1-4-12=-15$ です。つまり、この区間では $y = x^3 - 2x^2 - 8x$ が上側の関数です。

- $x = 2$ から $x = 3$ の区間では、$x = 2.5$のとき、$y = x^3 - 2x^2 - 8x$ は$15.625 - 12.5 - 20 = -16.875$ であり、$y = x^2 - 4x - 12$ は$6.25 - 10 - 12 = -15.75$ です。つまり、この区間では $y = x^2 - 4x - 12$ が上側の関数です。

面積を求める積分は、

$\int_{-2}^{2} (x^3 - 2x^2 - 8x - (x^2 - 4x - 12)) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 4x - 12 - (x^3 - 2x^2 - 8x)) dx$

$= \int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) dx + \int_{2}^{3} (-x^3 + 3x^2 + 4x - 12) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-2}^{2} (x^3 - 3x^2 - 4x + 12) dx = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 - 2x^2 + 12x]_{-2}^{2}$

$= (\frac{1}{4}(16) - 8 - 2(4) + 12(2)) - (\frac{1}{4}(16) + 8 - 2(4) - 12(2))$

$= (4 - 8 - 8 + 24) - (4 + 8 - 8 - 24) = 12 - (-20) = 32$

$\int_{2}^{3} (-x^3 + 3x^2 + 4x - 12) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 2x^2 - 12x]_{2}^{3}$

$= (-\frac{1}{4}(81) + 27 + 2(9) - 12(3)) - (-\frac{1}{4}(16) + 8 + 2(4) - 12(2))$

$= (-\frac{81}{4} + 27 + 18 - 36) - (-4 + 8 + 8 - 24)$

$= (-\frac{81}{4} + 9) - (-12) = -\frac{81}{4} + 21 = \frac{-81 + 84}{4} = \frac{3}{4}$

したがって、面積は $32 + \frac{3}{4} = \frac{128 + 3}{4} = \frac{131}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{131}{4}$