以下の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (x^2 + 1)^{-1/3}$ (2) $y = x^x$ (3) $y = xe^{2x+3}$

1. 問題の内容

以下の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (x^2 + 1)^{-1/3}$

(2) $y = x^x$

(3) $y = xe^{2x+3}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (x^2 + 1)^{-1/3}$ の場合：

合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{d}{dx} (x^2 + 1)^{-1/3} = -\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-4/3} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = -\frac{1}{3}(x^2 + 1)^{-4/3} \cdot 2x$

$y' = -\frac{2x}{3(x^2 + 1)^{4/3}}$

(2) $y = x^x$ の場合：

両辺の自然対数を取ってから微分します。

$\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

(3) $y = xe^{2x+3}$ の場合：

積の微分と合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{d}{dx} (xe^{2x+3}) = \frac{d}{dx}(x) \cdot e^{2x+3} + x \cdot \frac{d}{dx}(e^{2x+3})$

$y' = 1 \cdot e^{2x+3} + x \cdot e^{2x+3} \cdot \frac{d}{dx}(2x+3) = e^{2x+3} + x e^{2x+3} \cdot 2$

$y' = e^{2x+3} + 2xe^{2x+3} = e^{2x+3}(1 + 2x)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -\frac{2x}{3(x^2 + 1)^{4/3}}$

(2) $y' = x^x (\ln x + 1)$

(3) $y' = e^{2x+3}(1 + 2x)$