放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

解析学積分放物線面積
2025/8/4

1. 問題の内容

放物線 y=x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3xx 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、xx軸との交点を求めるために、y=0y=0 とおいて xx について解きます。
x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0
x22x3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0
x=3,1x = 3, -1
したがって、放物線は x=1x = -1x=3x = 3xx 軸と交わります。
求める面積は、定積分 13(x2+2x+3)dx\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx で計算できます。
13(x2+2x+3)dx=[13x3+x2+3x]13\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{-1}^{3}
=(13(3)3+(3)2+3(3))(13(1)3+(1)2+3(1))= (-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1))
=(13(27)+9+9)(13+13)= (-\frac{1}{3}(27) + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3)
=(9+9+9)(132)= (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} - 2)
=9(1363)= 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})
=9(53)= 9 - (-\frac{5}{3})
=9+53= 9 + \frac{5}{3}
=273+53= \frac{27}{3} + \frac{5}{3}
=323= \frac{32}{3}

3. 最終的な答え

323\frac{32}{3}

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