放物線 $y = -x^2 + 2x + 3$ と $x$ 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。解析学積分放物線面積2025/8/41. 問題の内容放物線 y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3y=−x2+2x+3 と xxx 軸で囲まれる図形の面積を求めよ。2. 解き方の手順まず、xxx軸との交点を求めるために、y=0y=0y=0 とおいて xxx について解きます。−x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0−x2+2x+3=0x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0(x−3)(x+1)=0x=3,−1x = 3, -1x=3,−1したがって、放物線は x=−1x = -1x=−1 と x=3x = 3x=3 で xxx 軸と交わります。求める面積は、定積分 ∫−13(−x2+2x+3)dx\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx∫−13(−x2+2x+3)dx で計算できます。∫−13(−x2+2x+3)dx=[−13x3+x2+3x]−13\int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x]_{-1}^{3}∫−13(−x2+2x+3)dx=[−31x3+x2+3x]−13=(−13(3)3+(3)2+3(3))−(−13(−1)3+(−1)2+3(−1))= (-\frac{1}{3}(3)^3 + (3)^2 + 3(3)) - (-\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 + 3(-1))=(−31(3)3+(3)2+3(3))−(−31(−1)3+(−1)2+3(−1))=(−13(27)+9+9)−(13+1−3)= (-\frac{1}{3}(27) + 9 + 9) - (\frac{1}{3} + 1 - 3)=(−31(27)+9+9)−(31+1−3)=(−9+9+9)−(13−2)= (-9 + 9 + 9) - (\frac{1}{3} - 2)=(−9+9+9)−(31−2)=9−(13−63)= 9 - (\frac{1}{3} - \frac{6}{3})=9−(31−36)=9−(−53)= 9 - (-\frac{5}{3})=9−(−35)=9+53= 9 + \frac{5}{3}=9+35=273+53= \frac{27}{3} + \frac{5}{3}=327+35=323= \frac{32}{3}=3323. 最終的な答え323\frac{32}{3}332