与えられた5つの2重積分を、変数変換を用いて計算します。 (1) 積分 $\iint_D x^2 dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); 0 \leq x-y \leq 1, 0 \leq x+y \leq 1\}$ (2) 積分 $\iint_D (x-y)^2 dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); -1 \leq x+2y \leq 1, -1 \leq x-y \leq 1\}$ (3) 積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq 1\}$ (4) 積分 $\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq a^2, x \geq 0, y \geq 0\}$ ($a > 0$) (5) 積分 $\iint_D xy dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ ($a > 0, b > 0$) 以下、各問題の解法を示します。 ### (1)
2025/8/4
## 解答
1. 問題の内容
与えられた5つの2重積分を、変数変換を用いて計算します。
(1) 積分 , 積分領域
(2) 積分 , 積分領域
(3) 積分 , 積分領域
(4) 積分 , 積分領域 ()
(5) 積分 , 積分領域 ()
以下、各問題の解法を示します。
### (1)
2. 解き方の手順
, と変数変換します。
,
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{vmatrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
したがって
積分領域は , となります。
3. 最終的な答え
### (2)
2. 解き方の手順
, と変数変換します。
,
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{vmatrix} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
したがって
積分領域は , となります。
3. 最終的な答え
### (3)
2. 解き方の手順
極座標変換 , を用います。
ヤコビアンは です。
積分領域は , となります。
3. 最終的な答え
### (4)
2. 解き方の手順
極座標変換 , を用います。
ヤコビアンは です。
積分領域は , となります( より)。
と置換すると, ,
のとき , のとき
3. 最終的な答え
### (5)
2. 解き方の手順
, と変数変換します。
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a\cos\theta & -ar\sin\theta \\
b\sin\theta & br\cos\theta
\end{vmatrix} = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr$
したがって
積分領域は , となります。