与えられた5つの2重積分を、変数変換を用いて計算します。 (1) 積分 $\iint_D x^2 dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); 0 \leq x-y \leq 1, 0 \leq x+y \leq 1\}$ (2) 積分 $\iint_D (x-y)^2 dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); -1 \leq x+2y \leq 1, -1 \leq x-y \leq 1\}$ (3) 積分 $\iint_D (x^2 + y^2) dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq 1\}$ (4) 積分 $\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq a^2, x \geq 0, y \geq 0\}$ ($a > 0$) (5) 積分 $\iint_D xy dxdy$, 積分領域 $D = \{(x,y); \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\}$ ($a > 0, b > 0$) 以下、各問題の解法を示します。 ### (1)

解析学多重積分変数変換ヤコビアン極座標変換
2025/8/4
## 解答

1. 問題の内容

与えられた5つの2重積分を、変数変換を用いて計算します。
(1) 積分 Dx2dxdy\iint_D x^2 dxdy, 積分領域 D={(x,y);0xy1,0x+y1}D = \{(x,y); 0 \leq x-y \leq 1, 0 \leq x+y \leq 1\}
(2) 積分 D(xy)2dxdy\iint_D (x-y)^2 dxdy, 積分領域 D={(x,y);1x+2y1,1xy1}D = \{(x,y); -1 \leq x+2y \leq 1, -1 \leq x-y \leq 1\}
(3) 積分 D(x2+y2)dxdy\iint_D (x^2 + y^2) dxdy, 積分領域 D={(x,y);x2+y21}D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq 1\}
(4) 積分 Da2x2y2dxdy\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} dxdy, 積分領域 D={(x,y);x2+y2a2,x0,y0}D = \{(x,y); x^2 + y^2 \leq a^2, x \geq 0, y \geq 0\} (a>0a > 0)
(5) 積分 Dxydxdy\iint_D xy dxdy, 積分領域 D={(x,y);x2a2+y2b21}D = \{(x,y); \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\} (a>0,b>0a > 0, b > 0)
以下、各問題の解法を示します。
### (1)

2. 解き方の手順

u=xyu = x - y, v=x+yv = x + y と変数変換します。
x=u+v2x = \frac{u+v}{2}, y=vu2y = \frac{v-u}{2}
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{vmatrix} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
したがって J=12|J| = \frac{1}{2}
積分領域は 0u10 \leq u \leq 1, 0v10 \leq v \leq 1 となります。
Dx2dxdy=0101(u+v2)212dudv=180101(u2+2uv+v2)dudv=1801[u33+u2v+uv2]01dv=1801(13+v+v2)dv=18[v3+v22+v33]01=18(13+12+13)=18(2+3+26)=748\iint_D x^2 dxdy = \int_0^1 \int_0^1 (\frac{u+v}{2})^2 \cdot \frac{1}{2} du dv = \frac{1}{8} \int_0^1 \int_0^1 (u^2 + 2uv + v^2) du dv = \frac{1}{8} \int_0^1 [\frac{u^3}{3} + u^2 v + uv^2]_0^1 dv = \frac{1}{8} \int_0^1 (\frac{1}{3} + v + v^2) dv = \frac{1}{8} [\frac{v}{3} + \frac{v^2}{2} + \frac{v^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{8} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{8} (\frac{2+3+2}{6}) = \frac{7}{48}

3. 最終的な答え

748\frac{7}{48}
### (2)

2. 解き方の手順

u=xyu = x - y, v=x+2yv = x + 2y と変数変換します。
x=2u+v3x = \frac{2u+v}{3}, y=vu3y = \frac{v-u}{3}
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{1}{3}
\end{vmatrix} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$
したがって J=13|J| = \frac{1}{3}
積分領域は 1u1-1 \leq u \leq 1, 1v1-1 \leq v \leq 1 となります。
D(xy)2dxdy=1111u213dudv=1311dv11u2du=13[v]11[u33]11=13(2)(13(13))=13(2)(23)=49\iint_D (x-y)^2 dxdy = \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 u^2 \cdot \frac{1}{3} du dv = \frac{1}{3} \int_{-1}^1 dv \int_{-1}^1 u^2 du = \frac{1}{3} [v]_{-1}^1 [\frac{u^3}{3}]_{-1}^1 = \frac{1}{3} (2) (\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3})) = \frac{1}{3} (2) (\frac{2}{3}) = \frac{4}{9}

3. 最終的な答え

49\frac{4}{9}
### (3)

2. 解き方の手順

極座標変換 x=rcosθx = r\cos\theta, y=rsinθy = r\sin\theta を用います。
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2
ヤコビアンは rr です。
積分領域は 0r10 \leq r \leq 1, 0θ2π0 \leq \theta \leq 2\pi となります。
D(x2+y2)dxdy=02π01r2rdrdθ=02πdθ01r3dr=2π[r44]01=2π14=π2\iint_D (x^2 + y^2) dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r dr d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r^3 dr = 2\pi [\frac{r^4}{4}]_0^1 = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}

3. 最終的な答え

π2\frac{\pi}{2}
### (4)

2. 解き方の手順

極座標変換 x=rcosθx = r\cos\theta, y=rsinθy = r\sin\theta を用います。
x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2
ヤコビアンは rr です。
積分領域は 0ra0 \leq r \leq a, 0θπ20 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} となります(x0,y0x \geq 0, y \geq 0 より)。
Da2x2y2dxdy=0π20aa2r2rdrdθ\iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^a \sqrt{a^2 - r^2} \cdot r dr d\theta
t=a2r2t = a^2 - r^2 と置換すると, dt=2rdrdt = -2r dr, rdr=12dtr dr = -\frac{1}{2} dt
r=0r=0 のとき t=a2t = a^2, r=ar=a のとき t=0t = 0
=0π2dθa20t(12)dt=120π2dθ0a2t12dt=12[θ]0π2[23t32]0a2=12π223(a2)32=π6a3= \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{a^2}^0 \sqrt{t} (-\frac{1}{2}) dt = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{a^2} t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}} [\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}]_0^{a^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2}{3} (a^2)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi}{6} a^3

3. 最終的な答え

πa36\frac{\pi a^3}{6}
### (5)

2. 解き方の手順

x=arcosθx = ar\cos\theta, y=brsinθy = br\sin\theta と変数変換します。
x2a2+y2b2=r2\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = r^2
ヤコビアンは
$J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}
\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}
a\cos\theta & -ar\sin\theta \\
b\sin\theta & br\cos\theta
\end{vmatrix} = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr$
したがって J=abr|J| = abr
積分領域は 0r10 \leq r \leq 1, 0θ2π0 \leq \theta \leq 2\pi となります。
Dxydxdy=02π01(arcosθ)(brsinθ)abrdrdθ=a2b202πsinθcosθdθ01r3dr=a2b202π12sin(2θ)dθ[r44]01=a2b2[14cos(2θ)]02π14=a2b2(14+14)14=0\iint_D xy dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (ar\cos\theta)(br\sin\theta) abr dr d\theta = a^2b^2 \int_0^{2\pi} \sin\theta\cos\theta d\theta \int_0^1 r^3 dr = a^2b^2 \int_0^{2\pi} \frac{1}{2} \sin(2\theta) d\theta [\frac{r^4}{4}]_0^1 = a^2b^2 [-\frac{1}{4} \cos(2\theta)]_0^{2\pi} \cdot \frac{1}{4} = a^2b^2 (-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) \cdot \frac{1}{4} = 0

3. 最終的な答え

00

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