曲線 $y = x(x-2)^2$ と放物線 $y = x(x-2)$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x(x-2)^2$ と放物線 $y = x(x-2)$ で囲まれる図形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x(x-2)^2 = x(x-2)$

$x(x-2)^2 - x(x-2) = 0$

$x(x-2)(x-2-1) = 0$

$x(x-2)(x-3) = 0$

よって、$x = 0, 2, 3$が交点のx座標です。

次に、区間 $[0, 2]$ と $[2, 3]$ でどちらの関数が大きいか調べます。

$f(x) = x(x-2)^2$ と $g(x) = x(x-2)$ とします。

区間 $[0, 2]$ では、$x = 1$ のとき、

$f(1) = 1(1-2)^2 = 1$

$g(1) = 1(1-2) = -1$

なので、$f(x) \ge g(x)$ です。

区間 $[2, 3]$ では、$x = 2.5$ のとき、

$f(2.5) = 2.5(2.5-2)^2 = 2.5(0.5)^2 = 2.5(0.25) = 0.625$

$g(2.5) = 2.5(2.5-2) = 2.5(0.5) = 1.25$

なので、$f(x) \le g(x)$ です。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_0^2 (x(x-2)^2 - x(x-2)) dx + \int_2^3 (x(x-2) - x(x-2)^2) dx$

$x(x-2)^2 - x(x-2) = x(x^2 - 4x + 4) - x(x-2) = x^3 - 4x^2 + 4x - x^2 + 2x = x^3 - 5x^2 + 6x$

$S = \int_0^2 (x^3 - 5x^2 + 6x) dx + \int_2^3 (-x^3 + 5x^2 - 6x) dx$

$S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + 3x^2]_0^2 + [-\frac{1}{4}x^4 + \frac{5}{3}x^3 - 3x^2]_2^3$

$S = (\frac{1}{4}(16) - \frac{5}{3}(8) + 3(4)) - 0 + (-\frac{1}{4}(81) + \frac{5}{3}(27) - 3(9)) - (-\frac{1}{4}(16) + \frac{5}{3}(8) - 3(4))$

$S = 4 - \frac{40}{3} + 12 + (-\frac{81}{4} + 45 - 27) - (-4 + \frac{40}{3} - 12)$

$S = 16 - \frac{40}{3} - \frac{81}{4} + 18 + 16 - \frac{40}{3}$

$S = 50 - \frac{80}{3} - \frac{81}{4} = 50 - \frac{320}{12} - \frac{243}{12} = 50 - \frac{563}{12} = \frac{600 - 563}{12} = \frac{37}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{37}{12}$