関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x$ の $-5 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 24x$ の $-5 \leq x \leq 1$ における最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 24$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 6x - 24 = 0$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

$(x+4)(x-2) = 0$

$x = -4, 2$

ここで、定義域が $-5 \leq x \leq 1$ であることに注意します。$x = -4$ はこの範囲に含まれますが、$x = 2$ は含まれません。

したがって、調べるべき $x$ の値は $x = -5, -4, 1$ です。

それぞれの $x$ の値に対する $f(x)$ の値を計算します。

$f(-5) = (-5)^3 + 3(-5)^2 - 24(-5) = -125 + 75 + 120 = 70$

$f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 24(-4) = -64 + 48 + 96 = 80$

$f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 24(1) = 1 + 3 - 24 = -20$

これらの値から、最大値は $f(-4) = 80$ であり、最小値は $f(1) = -20$ であることがわかります。

3. 最終的な答え

$x = -4$ のとき最大値 $80$

$x = 1$ のとき最小値 $-20$