$\sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta}$ を合成して、$\cos$ の関数で表す問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta}$ を合成して、$\cos$ の関数で表す問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。一般に、$a \sin{\theta} + b \cos{\theta}$ は $r \cos{(\theta - \alpha)}$ または $r \sin{(\theta + \alpha)}$ の形に合成できます。

今回は$\cos$の関数で表すように指示されているので、$r \cos{(\theta - \alpha)}$ の形を目指します。

$\sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta} = r \cos{(\theta - \alpha)} = r (\cos{\theta}\cos{\alpha} + \sin{\theta}\sin{\alpha}) = (r \sin{\alpha}) \sin{\theta} + (r \cos{\alpha}) \cos{\theta}$

係数を比較すると、

$r \sin{\alpha} = \sqrt{3}$

$r \cos{\alpha} = -1$

両辺を2乗して足し合わせると、

$r^2 \sin^2{\alpha} + r^2 \cos^2{\alpha} = (\sqrt{3})^2 + (-1)^2$

$r^2 (\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha}) = 3 + 1$

$r^2 = 4$

$r = 2$ (r>0なので)

したがって、

$2 \sin{\alpha} = \sqrt{3}$

$2 \cos{\alpha} = -1$

$\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos{\alpha} = -\frac{1}{2}$

よって、$\alpha = \frac{2\pi}{3}$

したがって、

$\sqrt{3} \sin{\theta} - \cos{\theta} = 2 \cos{(\theta - \frac{2\pi}{3})}$

3. 最終的な答え

$2 \cos{(\theta - \frac{2\pi}{3})}$