関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ について、以下の問いに答えます。 (1) 合成関数の微分法を用いて、関数を微分する。 (2) $x$ を $y$ の式で表す。 (3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ について、以下の問いに答えます。

(1) 合成関数の微分法を用いて、関数を微分する。

(2) $x$ を $y$ の式で表す。

(3) 逆関数の微分法を用いて、$\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分法を用いて $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ を微分します。

まず、$\frac{d}{dx} \log(x) = \frac{1}{x}$ であることを利用します。

$u = x + \sqrt{x^2 - 1}$ とおくと、$y = \log(u)$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 - 1}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $y = \log(x + \sqrt{x^2 - 1})$ より、$e^y = x + \sqrt{x^2 - 1}$ となります。

ここで、$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1})} = \frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{x^2 - (x^2 - 1)} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ となります。

したがって、$e^y + e^{-y} = (x + \sqrt{x^2 - 1}) + (x - \sqrt{x^2 - 1}) = 2x$

よって、$x = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh(y)$

(3) 逆関数の微分法を用いると、$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$ です。

(1) より、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ であり、(2) より $x = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh(y)$ です。

$\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{\cosh^2(y) - 1} = \sqrt{\sinh^2(y)} = \sinh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sinh(y)}$

(2)の答えを利用すると、

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(\frac{e^y + e^{-y}}{2}) = \frac{e^y - e^{-y}}{2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{2}{e^y - e^{-y}} = \frac{1}{\sinh(y)}$

(1) で求めた $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ をそのまま答えとすることもできます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$

(2) $x = \frac{e^y + e^{-y}}{2} = \cosh(y)$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sinh(y)}$