関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ が、区間 $-3 \le x \le -1$ において最小値をとるときの値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 6x^2 - 5$ が、区間 $-3 \le x \le -1$ において最小値をとるときの値と、そのときの $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 12x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 12x = 0$

$3x(x + 4) = 0$

$x = 0, -4$

次に、与えられた区間 $-3 \le x \le -1$ に含まれる極値を確認します。

$x = 0$ は区間外なので考慮しません。

$x = -4$ も区間外なので考慮しません。

したがって、区間内に極値はありません。

次に、区間の端点 $x = -3$ と $x = -1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 - 5 = -27 + 54 - 5 = 22$

$f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 - 5 = -1 + 6 - 5 = 0$

区間の端点の値 $f(-3) = 22$ と $f(-1) = 0$ を比較します。

小さい方の値が最小値となります。

最小値は $0$ で、そのときの $x$ の値は $-1$ です。

3. 最終的な答え

最小値: 0

xの値: -1