関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ が、区間 $-1 \le x \le 4$ においてとりうる値の範囲を求める問題です。選択肢の中から正しい範囲を選びます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 9x^2 + 15x - 7$ が、区間 $-1 \le x \le 4$ においてとりうる値の範囲を求める問題です。選択肢の中から正しい範囲を選びます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を計算し、極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 18x + 15 = 3(x^2 - 6x + 5) = 3(x-1)(x-5)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 1$ または $x = 5$ のときです。しかし、$x=5$ は区間 $-1 \le x \le 4$ の外にあるため、考慮する必要はありません。

次に、区間の端点 $x=-1$ と $x=4$ 、および極値を与える $x=1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 15(-1) - 7 = -1 - 9 - 15 - 7 = -32$

$f(1) = (1)^3 - 9(1)^2 + 15(1) - 7 = 1 - 9 + 15 - 7 = 0$

$f(4) = (4)^3 - 9(4)^2 + 15(4) - 7 = 64 - 144 + 60 - 7 = -27$

したがって、関数 $f(x)$ は区間 $-1 \le x \le 4$ で、最小値 $f(-1) = -32$ 、最大値 $f(1) = 0$ をとります。

よって、関数 $f(x)$ の値の範囲は $-32 \le f(x) \le 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-32 \le f(x) \le 0$

選択肢１が正解です。