曲線 $y = x^3 - 3x^2$ に点 $(-1, 0)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 3x^2$ に点 $(-1, 0)$ から引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 3x^2$ 上の点 $(t, t^3 - 3t^2)$ における接線を考えます。

接線の傾きは、微分することで求められます。

$y' = 3x^2 - 6x$

よって、点 $(t, t^3 - 3t^2)$ における接線の傾きは $3t^2 - 6t$ となります。

この点における接線の方程式は、次のようになります。

$y - (t^3 - 3t^2) = (3t^2 - 6t)(x - t)$

$y = (3t^2 - 6t)x - 3t^3 + 6t^2 + t^3 - 3t^2$

$y = (3t^2 - 6t)x - 2t^3 + 3t^2$

この接線が点 $(-1, 0)$ を通るので、

$0 = (3t^2 - 6t)(-1) - 2t^3 + 3t^2$

$0 = -3t^2 + 6t - 2t^3 + 3t^2$

$0 = -2t^3 + 6t$

$0 = -2t(t^2 - 3)$

よって、$t = 0$ または $t^2 = 3$ より $t = \pm \sqrt{3}$ です。

(i) $t = 0$ のとき

接線の方程式は $y = (3(0)^2 - 6(0))x - 2(0)^3 + 3(0)^2 = 0$

つまり、$y = 0$

(ii) $t = \sqrt{3}$ のとき

$3t^2 - 6t = 3(3) - 6\sqrt{3} = 9 - 6\sqrt{3}$

$-2t^3 + 3t^2 = -2(3\sqrt{3}) + 3(3) = -6\sqrt{3} + 9$

接線の方程式は $y = (9 - 6\sqrt{3})x - 6\sqrt{3} + 9$

$y = (9 - 6\sqrt{3})x + 9 - 6\sqrt{3}$

$y = (9 - 6\sqrt{3})(x + 1)$

(iii) $t = -\sqrt{3}$ のとき

$3t^2 - 6t = 3(3) - 6(-\sqrt{3}) = 9 + 6\sqrt{3}$

$-2t^3 + 3t^2 = -2(-3\sqrt{3}) + 3(3) = 6\sqrt{3} + 9$

接線の方程式は $y = (9 + 6\sqrt{3})x + 6\sqrt{3} + 9$

$y = (9 + 6\sqrt{3})x + 9 + 6\sqrt{3}$

$y = (9 + 6\sqrt{3})(x + 1)$

問題文の形に合うように接線を一つ選ぶと $y=0$ になります。

3. 最終的な答え

y=0

y=(9±6√3)(x+1)

最終的に

1: 0

2: 9

3: 6

4: 3

5: 1

となります。