2次関数 $y = -2x^2$ について、$x = 1$ から $x = 1+h$ までの平均変化率を求める。

## Q2

1. 問題の内容

2次関数 $y = -2x^2$ について、$x = 1$ から $x = 1+h$ までの平均変化率を求める。

2. 解き方の手順

平均変化率は、変化の割合なので、

$$$$

\frac{yの変化量}{xの変化量} = \frac{f(1+h) - f(1)}{(1+h) - 1} = \frac{f(1+h) - f(1)}{h}

$$$$

で求められる。ここで、$f(x) = -2x^2$ である。

まず、$f(1+h)$ を計算する。

$$$$

f(1+h) = -2(1+h)^2 = -2(1 + 2h + h^2) = -2 - 4h - 2h^2

$$$$

次に、$f(1)$ を計算する。

$$$$

f(1) = -2(1)^2 = -2

$$$$

これらを平均変化率の式に代入する。

$$$$

\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(-2 - 4h - 2h^2) - (-2)}{h} = \frac{-2 - 4h - 2h^2 + 2}{h} = \frac{-4h - 2h^2}{h}

$$$$

$h$ で割ると、

$$$$

\frac{-4h - 2h^2}{h} = -4 - 2h

$$$$

3. 最終的な答え

$-4 - 2h$

選択肢の中から該当するものを選ぶと、② $-4-2h$ が答えとなる。

## Q3

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 3x - 4$ の $x = -2$ における微分係数 $f'(-2)$ を定義に従って求める。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、

$$$$

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

$$$$

である。この問題では、$a = -2$ であるので、

$$$$

f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h}

$$$$

まず、$f(-2+h)$ を計算する。

$$$$

f(-2+h) = -(-2+h)^2 + 3(-2+h) - 4 = -(4 - 4h + h^2) - 6 + 3h - 4 = -4 + 4h - h^2 - 6 + 3h - 4 = -14 + 7h - h^2

$$$$

次に、$f(-2)$ を計算する。

$$$$

f(-2) = -(-2)^2 + 3(-2) - 4 = -4 - 6 - 4 = -14

$$$$

これらを微分係数の式に代入する。

$$$$

f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(-14 + 7h - h^2) - (-14)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-14 + 7h - h^2 + 14}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{7h - h^2}{h}

$$$$

$h$ で割ると、

$$$$

\lim_{h \to 0} \frac{7h - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (7 - h)

$$$$

$h \to 0$ の極限を取ると、

$$$$

\lim_{h \to 0} (7 - h) = 7 - 0 = 7

$$$$

3. 最終的な答え

7

選択肢の中から該当するものを選ぶと、⑤ 7 が答えとなる。