関数 $h(t)$ が与えられ、それを用いて定義された関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 不定積分 $\int (x-t) \sin t dt$ を計算する。 (2) $x$ の範囲に応じて $f(x)$ を求める。 (3) $\int_0^{2\pi} f''(x) dx$ を計算する。 (4) $f'(x) = 0$ を満たす $x$ を $\theta$ を用いて表す。ただし、$\tan \theta = \pi$ を満たす $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。 (5) $\int_0^{2\pi} |f(x)| dx$ の値を $\theta$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $h(t)$ が与えられ、それを用いて定義された関数 $f(x)$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 不定積分 $\int (x-t) \sin t dt$ を計算する。

(2) $x$ の範囲に応じて $f(x)$ を求める。

(3) $\int_0^{2\pi} f''(x) dx$ を計算する。

(4) $f'(x) = 0$ を満たす $x$ を $\theta$ を用いて表す。ただし、$\tan \theta = \pi$ を満たす $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。

(5) $\int_0^{2\pi} |f(x)| dx$ の値を $\theta$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int (x-t) \sin t dt$ を計算します。部分積分法を用います。

$u = x-t$, $dv = \sin t dt$ とすると、

$du = -dt$, $v = -\cos t$

よって、

$\int (x-t) \sin t dt = -(x-t)\cos t - \int (-\cos t) (-dt) = -(x-t)\cos t - \int \cos t dt = -(x-t)\cos t - \sin t + C$

$\int (x-t) \sin t dt = (t-x)\cos t - \sin t + C$

(2) $x$ の範囲に応じて $f(x)$ を求めます。

(ア) $x < 0$ のとき、$0 \le t \le \pi$ で $x-t < 0$ なので、$h(x-t) = 0$。したがって $f(x) = 0$。

(イ) $0 \le x \le \pi$ のとき、$f(x) = \int_0^x h(x-t) \sin t dt = \int_0^x (x-t) \sin t dt$

(ウ) $\pi < x < 2\pi$ のとき、$f(x) = \int_0^\pi h(x-t) \sin t dt = \int_0^\pi (x-t) \sin t dt$

(エ) $2\pi \le x$ のとき、$f(x) = 0$

まず、$I = \int_0^x (x-t) \sin t dt$ を計算すると、

$I = [(t-x)\cos t - \sin t]_0^x = (x-x)\cos x - \sin x - ((0-x)\cos 0 - \sin 0) = -\sin x + x$

次に、$J = \int_0^\pi (x-t) \sin t dt$ を計算すると、

$J = [(t-x)\cos t - \sin t]_0^\pi = (\pi-x)\cos \pi - \sin \pi - ((0-x)\cos 0 - \sin 0) = (\pi-x)(-1) - (-x) = -\pi + x + x = 2x - \pi$

したがって、$f(x)$ は次のように表されます。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ x - \sin x & (0 \le x \le \pi) \\ 2x - \pi & (\pi < x < 2\pi) \\ 0 & (2\pi \le x) \end{cases}$

(3) $f'(x)$ と $f''(x)$ を計算します。

$f'(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ 1 - \cos x & (0 \le x \le \pi) \\ 2 & (\pi < x < 2\pi) \\ 0 & (2\pi \le x) \end{cases}$

$f''(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ \sin x & (0 \le x < \pi) \\ 0 & (\pi < x < 2\pi) \\ 0 & (2\pi \le x) \end{cases}$

$x = \pi$ で $f''(x)$ が定義できないので条件を満たさない。問題文から$x = \pi$を除外することにする。

$\int_0^{2\pi} f''(x) dx = \int_0^{\pi} \sin x dx + \int_{\pi}^{2\pi} 0 dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2$

(4) $f'(x) = 0$ を満たす $\pi < x < 2\pi$ の $x$ を求めます。

$f'(x) = 2$ なので、$\pi < x < 2\pi$ で $f'(x) = 0$ を満たす $x$ は存在しません。したがって、問題文の解釈を変えて、区間全体で$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$0 < x < \pi$ で $1 - \cos x = 0$ を解くと、$\cos x = 1$ なので $x = 0$。

また、$x < 0$ または $x > 2\pi$ で $f'(x) = 0$。

$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は $0, 2\pi$。

ここで、問題文から $f'(\theta) = 0$ と読み替えて解きます。$x = \theta$ が $\pi < x < 2\pi$ を満たすので $f'(x) = 2$となり$f'(x) = 0$を満たすことはありません。

$tan(\theta) = \pi$を満たす$\theta$の値は存在し、条件$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$を満たします。しかし、この$\theta$を用いて$f'(x)=0$となる$x$を表すことはできません。

(5) $\int_0^{2\pi} |f(x)| dx$ を計算します。

$\int_0^{2\pi} |f(x)| dx = \int_0^{\pi} |x - \sin x| dx + \int_{\pi}^{2\pi} |2x - \pi| dx$

$x - \sin x \ge 0$ なので $\int_0^{\pi} (x - \sin x) dx = [\frac{1}{2}x^2 + \cos x]_0^{\pi} = \frac{1}{2}\pi^2 + \cos \pi - (0 + \cos 0) = \frac{1}{2}\pi^2 - 1 - 1 = \frac{1}{2}\pi^2 - 2$

$2x - \pi \ge 0$ なので $\int_{\pi}^{2\pi} (2x - \pi) dx = [x^2 - \pi x]_{\pi}^{2\pi} = (4\pi^2 - 2\pi^2) - (\pi^2 - \pi^2) = 2\pi^2$

$\int_0^{2\pi} |f(x)| dx = \frac{1}{2}\pi^2 - 2 + 2\pi^2 = \frac{5}{2}\pi^2 - 2$

$\pi = \tan \theta$ なので、$\int_0^{2\pi} |f(x)| dx = \frac{5}{2} \tan^2 \theta - 2$

3. 最終的な答え

(1) $(t-x)\cos t - \sin t + C$

(2) $f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 0) \\ x - \sin x & (0 \le x \le \pi) \\ 2x - \pi & (\pi < x < 2\pi) \\ 0 & (2\pi \le x) \end{cases}$

(3) $2$

(4) 該当する $x$ は存在しない。問題文を$f'(\theta)=0$と読み替えても表すことはできない。

(5) $\frac{5}{2} \tan^2 \theta - 2$