関数 $h(t)$ が与えられ、$f(x)$ が積分で定義されている。 (1) 不定積分 $\int (x-t)\sin t dt$ を計算する。 (2) $x$ の範囲によって $f(x)$ の値を求める。 (3) $\int_0^{2\pi} f'(x) dx$ を計算する。 (4) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ で $\tan \theta = \pi$ を満たす実数 $\theta$ がある。$f'(x) = 0$ を満たす $x$ ($\pi < x < 2\pi$) を $\theta$ を用いて表す。 (5) $\int_0^{2\pi} |f'(x)| dx$ の値を (4) の $\theta$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $h(t)$ が与えられ、$f(x)$ が積分で定義されている。

(1) 不定積分 $\int (x-t)\sin t dt$ を計算する。

(2) $x$ の範囲によって $f(x)$ の値を求める。

(3) $\int_0^{2\pi} f'(x) dx$ を計算する。

(4) $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ で $\tan \theta = \pi$ を満たす実数 $\theta$ がある。$f'(x) = 0$ を満たす $x$ ($\pi < x < 2\pi$) を $\theta$ を用いて表す。

(5) $\int_0^{2\pi} |f'(x)| dx$ の値を (4) の $\theta$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int (x-t) \sin t dt$ を計算する。

部分積分を用いる。

$\int (x-t) \sin t dt = (x-t) (-\cos t) - \int (-1) (-\cos t) dt = -(x-t) \cos t - \int \cos t dt = -(x-t) \cos t - \sin t + C$

$= (t-x) \cos t - \sin t + C$

(2) $f(x)$ を求める。

(ア) $x < 0$: $f(x) = 0$

(イ) $0 \le x \le \pi$: $f(x) = \int_0^x h(x-t) \sin t dt = \int_0^x (x-t) \sin t dt = [(t-x) \cos t - \sin t]_0^x = (x-x) \cos x - \sin x - (0-x) \cos 0 + \sin 0 = 0 - \sin x + x = x - \sin x$

(ウ) $\pi < x < 2\pi$: $f(x) = \int_x^{2\pi} h(x-t) \sin t dt = \int_x^{2\pi} (x-t) \sin t dt = [(t-x) \cos t - \sin t]_x^{2\pi} = (2\pi - x) \cos 2\pi - \sin 2\pi - (x-x) \cos x + \sin x = 2\pi - x + \sin x$

(エ) $2\pi \le x$: $f(x) = 0$

(3) $\int_0^{2\pi} f'(x) dx$ を計算する。

$f'(x) = 0$ for $x < 0$ and $x > 2\pi$.

$f'(x) = 1 - \cos x$ for $0 \le x \le \pi$.

$f'(x) = -1 + \cos x$ for $\pi < x < 2\pi$.

$\int_0^{2\pi} f'(x) dx = \int_0^{\pi} (1-\cos x) dx + \int_{\pi}^{2\pi} (-1 + \cos x) dx = [x - \sin x]_0^{\pi} + [-x + \sin x]_{\pi}^{2\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) + (-2\pi + 0) - (-\pi + 0) = \pi - 2\pi + \pi = 0$.

(4) $f'(x) = 0$ を満たす $x$ ($\pi < x < 2\pi$) を $\theta$ を用いて表す。

$\pi < x < 2\pi$ で $f'(x) = -1 + \cos x = 0$ より、$\cos x = 1$ 。この範囲で $\cos x = 1$ となるのは $x = 2\pi$ であるが、$\pi < x < 2\pi$ という条件よりこれは解ではない。

$\tan \theta = \pi$より $\theta = \arctan \pi$ である。

与えられた条件では解がないため、問題を再確認する必要がある。

$f'(x) = -1 + \cos x = 0$ つまり $\cos x = 1$となるのは$x = 2\pi$だが、 $\pi < x < 2\pi$より適さない。

しかし問題文に「$f'(x) = 0$を満たす$x$ ($\pi < x < 2\pi$)」とあるため$f'(x) = 0$になる$x$が存在すると仮定して問題を解き進める。

$\tan \theta = \pi$ より $\theta = \arctan \pi$

5. $\int_0^{2\pi} |f'(x)| dx$ を計算する。

$\int_0^{2\pi} |f'(x)| dx = \int_0^{\pi} |1 - \cos x| dx + \int_{\pi}^{2\pi} |-1 + \cos x| dx = \int_0^{\pi} (1 - \cos x) dx + \int_{\pi}^{2\pi} (1 - \cos x) dx = [x - \sin x]_0^{\pi} + [x - \sin x]_{\pi}^{2\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) + (2\pi - 0) - (\pi - 0) = \pi + 2\pi - \pi = 2\pi$.

$\theta$ は関係ない。

3. 最終的な答え

(1) $(t-x)\cos t - \sin t + C$

(2) (ア) $f(x) = 0$, (イ) $f(x) = x - \sin x$, (ウ) $f(x) = 2\pi - x + \sin x$, (エ) $f(x) = 0$

(3) $\int_0^{2\pi} f'(x) dx = 0$

(4) 解なし

(5) $\int_0^{2\pi} |f'(x)| dx = 2\pi$