極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos{\theta}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) によって囲まれた領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

極座標で表された曲線 $r = 2 + \cos{\theta}$ ($0 \le \theta \le 2\pi$) によって囲まれた領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

極座標における面積の公式は $A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta$ で与えられます。

この問題では、$r = 2 + \cos{\theta}$ であり、$\alpha = 0$, $\beta = 2\pi$ なので、面積 $A$ は次のように計算されます。

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (2 + \cos{\theta})^2 d\theta$

$(2 + \cos{\theta})^2$ を展開します。

$(2 + \cos{\theta})^2 = 4 + 4\cos{\theta} + \cos^2{\theta}$

$\cos^2{\theta}$ を倍角の公式を用いて変形します。

$\cos^2{\theta} = \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}$

したがって、

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (4 + 4\cos{\theta} + \frac{1 + \cos{2\theta}}{2}) d\theta$

$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\frac{9}{2} + 4\cos{\theta} + \frac{1}{2}\cos{2\theta}) d\theta$

積分を実行します。

$A = \frac{1}{2} [\frac{9}{2}\theta + 4\sin{\theta} + \frac{1}{4}\sin{2\theta}]_{0}^{2\pi}$

$A = \frac{1}{2} [(\frac{9}{2}(2\pi) + 4\sin{2\pi} + \frac{1}{4}\sin{4\pi}) - (\frac{9}{2}(0) + 4\sin{0} + \frac{1}{4}\sin{0})]$

$A = \frac{1}{2} [9\pi + 0 + 0 - (0 + 0 + 0)]$

$A = \frac{9\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9\pi}{2}$