関数 $g(x) = 3(x-\alpha)(x-\beta)$ が与えられています。ここで、$0 < \alpha < \beta$ です。曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸との交点を $A(\alpha, 0)$, $B(\beta, 0)$ とします。曲線 $C$ と $y$ 軸および線分 $OA$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、曲線 $C$ と線分 $AB$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とします。$S_1$、$S_2$、そして $S_1 - S_2$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = 3(x-\alpha)(x-\beta)$ が与えられています。ここで、$0 < \alpha < \beta$ です。曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸との交点を $A(\alpha, 0)$, $B(\beta, 0)$ とします。曲線 $C$ と $y$ 軸および線分 $OA$ で囲まれた図形の面積を $S_1$ とし、曲線 $C$ と線分 $AB$ で囲まれた図形の面積を $S_2$ とします。$S_1$、$S_2$、そして $S_1 - S_2$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ を求めます。$S_1$ は曲線 $y = g(x)$ と $y$ 軸および線分 $OA$ で囲まれた面積なので、

$$S_1 = \left| \int_0^{\alpha} 3(x-\alpha)(x-\beta) dx \right|$$

次に、$S_2$ を求めます。$S_2$ は曲線 $y = g(x)$ と線分 $AB$ で囲まれた面積なので、

$$S_2 = \left| \int_{\alpha}^{\beta} 3(x-\alpha)(x-\beta) dx \right|$$

積分を計算します。

$$g(x) = 3(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta) = 3x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta$$

$$S_1 = \left| \int_0^{\alpha} (3x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta) dx \right|$$

$$S_1 = \left| [x^3 - \frac{3}{2}(\alpha + \beta)x^2 + 3\alpha \beta x]_0^{\alpha} \right|$$

$$S_1 = \left| \alpha^3 - \frac{3}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + 3\alpha \beta \alpha \right|$$

$$S_1 = \left| \alpha^3 - \frac{3}{2}\alpha^3 - \frac{3}{2}\alpha^2 \beta + 3\alpha^2 \beta \right|$$

$$S_1 = \left| -\frac{1}{2}\alpha^3 + \frac{3}{2}\alpha^2 \beta \right|$$

$$S_1 = \frac{1}{2}\alpha^2 (3\beta - \alpha)$$

次に、$S_2$ を計算します。

$$S_2 = \left| \int_{\alpha}^{\beta} (3x^2 - 3(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta) dx \right|$$

$$S_2 = \left| [x^3 - \frac{3}{2}(\alpha + \beta)x^2 + 3\alpha \beta x]_{\alpha}^{\beta} \right|$$

$$S_2 = \left| (\beta^3 - \frac{3}{2}(\alpha + \beta)\beta^2 + 3\alpha \beta^2) - (\alpha^3 - \frac{3}{2}(\alpha + \beta)\alpha^2 + 3\alpha^2 \beta) \right|$$

$$S_2 = \left| \beta^3 - \frac{3}{2}\alpha \beta^2 - \frac{3}{2}\beta^3 + 3\alpha \beta^2 - \alpha^3 + \frac{3}{2}\alpha^3 + \frac{3}{2}\alpha^2 \beta - 3\alpha^2 \beta \right|$$

$$S_2 = \left| -\frac{1}{2}\beta^3 + \frac{3}{2}\alpha \beta^2 + \frac{1}{2}\alpha^3 - \frac{3}{2}\alpha^2 \beta \right|$$

$$S_2 = \left| -\frac{1}{2}(\beta^3 - 3\alpha \beta^2 - \alpha^3 + 3\alpha^2 \beta ) \right|$$

$$S_2 = \left| -\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 \right| = \frac{1}{2} (\beta - \alpha)^3$$

最後に、$S_1 - S_2$ を計算します。

$$S_1 - S_2 = \frac{1}{2}\alpha^2 (3\beta - \alpha) - \frac{1}{2} (\beta - \alpha)^3 = \frac{1}{2} (3\alpha^2\beta - \alpha^3 - (\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3))$$

$$= \frac{1}{2} (3\alpha^2 \beta - \alpha^3 - \beta^3 + 3\alpha \beta^2 - 3 \alpha^2 \beta + \alpha^3) = \frac{1}{2}(3\alpha \beta^2 - \beta^3) = \frac{1}{2}\beta^2(3\alpha - \beta)$$

3. 最終的な答え

$S_1 = \frac{1}{2} \alpha^2 (3\beta - \alpha)$

$S_2 = \frac{1}{2} (\beta - \alpha)^3$

$S_1 - S_2 = \frac{1}{2}\beta^2(3\alpha - \beta)$