双曲線正接関数 $\tanh x$ について、対称性、増減、凹凸、$\lim_{x \to \infty} \tanh x$、$\lim_{x \to -\infty} \tanh x$などを調べ、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

双曲線正接関数 $\tanh x$ について、対称性、増減、凹凸、$\lim_{x \to \infty} \tanh x$、$\lim_{x \to -\infty} \tanh x$などを調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 双曲線正接関数の定義を確認する。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

(2) 対称性を調べる。

$\tanh(-x) = \frac{e^{-x} - e^{x}}{e^{-x} + e^{x}} = - \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} = - \tanh x$

よって、$\tanh x$ は奇関数であり、原点に関して対称である。

(3) 増減を調べる。

$\tanh x$ の導関数を計算する。

$\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{4}{(e^x + e^{-x})^2} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$

$\operatorname{sech}^2 x > 0$ であるから、$\tanh x$ は常に増加関数である。

(4) 凹凸を調べる。

$\tanh x$ の2階導関数を計算する。

$\frac{d^2}{dx^2} \tanh x = \frac{d}{dx} \operatorname{sech}^2 x = 2 \operatorname{sech} x \cdot (-\operatorname{sech} x \tanh x) = -2 \operatorname{sech}^2 x \tanh x$

$\tanh x > 0$ (for $x > 0$)、$\tanh x < 0$ (for $x < 0$)、$\tanh x = 0$ (for $x = 0$) であるから、

$\frac{d^2}{dx^2} \tanh x < 0$ (for $x > 0$)：上に凸

$\frac{d^2}{dx^2} \tanh x > 0$ (for $x < 0$)：下に凸

$x=0$ は変曲点である。

(5) 極限を調べる。

$\lim_{x \to \infty} \tanh x = \lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$

(6) グラフの概形

$\tanh x$ は原点に関して対称な奇関数で、常に増加する。$x \to \infty$ で $y \to 1$、$x \to -\infty$ で $y \to -1$ となる。また、$x=0$ で変曲点を持つ。

3. 最終的な答え

$\tanh x$ は奇関数、常に増加、$x>0$ で上に凸、$x<0$ で下に凸、$\lim_{x \to \infty} \tanh x = 1$、$\lim_{x \to -\infty} \tanh x = -1$。