曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x = 0$, $x = 2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) と $x = 0$, $x = 2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \cos x$ のグラフは、$x$軸より上にある部分と下にある部分が存在します。面積を求めるには、それぞれの部分を分けて積分し、絶対値を足し合わせる必要があります。

まず、$\cos x = 0$ となる $x$ を求めます。これは $x = \frac{\pi}{2}$ と $x = \frac{3\pi}{2}$ です。

したがって、面積 $S$ は以下の積分で計算できます。

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = -1 - 1 = -2$

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx = [\sin x]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \sin 2\pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$

したがって、

$S = 1 - (-2) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

$S = 4$