以下の等式を証明する問題です。ここで、$A \neq 0$ です。 $$(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$$

1. 問題の内容

以下の等式を証明する問題です。ここで、$A \neq 0$ です。

$$(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$$

2. 解き方の手順

左辺を計算して右辺に一致することを示します。

まず、合成関数の微分公式を使います。

$$(\log|f(x)|)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$$

ここで、$f(x) = x + \sqrt{x^2 + A}$ なので、$f'(x)$ を計算します。

$$f'(x) = (x + \sqrt{x^2 + A})' = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} (x^2 + A)' = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + A}} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}$$

次に、$\frac{f'(x)}{f(x)}$ を計算します。

$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}}{x + \sqrt{x^2 + A}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}}{x + \sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}(x + \sqrt{x^2 + A})} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$$

よって、

$$(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$$

となり、与えられた等式が成立することが示されました。

3. 最終的な答え

$$(\log|x + \sqrt{x^2 + A}|)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$$