関数 $f(x) = x(x-6)^2$ が与えられています。$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を $g(x)$ とします。このとき、$g(x)$ を因数分解した形で求め、不定積分 $\int_0^x g(t) dt$ を求めます。曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸の交点をA, Bとし、原点OとAを結ぶ線分OAと曲線で囲まれた面積を$S_1$、曲線と線分ABで囲まれた面積を$S_2$とするとき、$S_1$と$S_2$の関係を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x(x-6)^2$ が与えられています。$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を $g(x)$ とします。このとき、$g(x)$ を因数分解した形で求め、不定積分 $\int_0^x g(t) dt$ を求めます。曲線 $y=g(x)$ と $x$ 軸の交点をA, Bとし、原点OとAを結ぶ線分OAと曲線で囲まれた面積を$S_1$、曲線と線分ABで囲まれた面積を$S_2$とするとき、$S_1$と$S_2$の関係を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$g(x) = f'(x)$ を計算します。

$f(x) = x(x-6)^2 = x(x^2 - 12x + 36) = x^3 - 12x^2 + 36x$

$f'(x) = 3x^2 - 24x + 36 = 3(x^2 - 8x + 12) = 3(x-2)(x-6)$

したがって、$g(x) = 3(x-2)(x-6)$ です。ここで $2 < 6$ なので、ト = 2, ナ = 6 です。

次に、$f(x) = \int_0^x g(t) dt$ を計算します。

$\int_0^x g(t) dt = \int_0^x 3(t-2)(t-6) dt = \int_0^x 3(t^2 - 8t + 12) dt = 3[\frac{1}{3}t^3 - 4t^2 + 12t]_0^x = x^3 - 12x^2 + 36x$

これは、与えられた$f(x)$と一致します。

次に、曲線 $y = g(x)$ と $x$ 軸の交点は、$g(x) = 0$ となる $x$ の値です。

$3(x-2)(x-6) = 0$ より、$x = 2, 6$ となります。よって、A(2, 0), B(6, 0) です。

$S_1$ は、$x=0$ から $x=2$ までの $|g(x)|$ の積分です。$0 \le x \le 2$ では $g(x) > 0$ なので、

$S_1 = \int_0^2 g(x) dx = \int_0^2 3(x-2)(x-6) dx = \int_0^2 (3x^2 - 24x + 36) dx = [x^3 - 12x^2 + 36x]_0^2 = 8 - 48 + 72 = 32$

$S_2$ は、$x=2$ から $x=6$ までの $|g(x)|$ の積分です。$2 \le x \le 6$ では $g(x) < 0$ なので、

$S_2 = \int_2^6 |g(x)| dx = -\int_2^6 g(x) dx = -\int_2^6 (3x^2 - 24x + 36) dx = -[x^3 - 12x^2 + 36x]_2^6 = -(216 - 432 + 216 - (8 - 48 + 72)) = -(-32) = 32$

よって、$S_1 = S_2$ となります。

3. 最終的な答え

ト = 2

ナ = 6

$S_1$ = $S_2$

選択肢: ①