曲線 $y = \cos x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) と、$x = 0$, $x = 2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = \cos x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) と、$x = 0$, $x = 2\pi$, $x$軸で囲まれる図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \cos x$ のグラフは、$x$軸の上側と下側の両方に存在するため、積分する区間を分けて考える必要があります。

$\cos x = 0$ となる $x$ の値は、$x = \frac{\pi}{2}$ と $x = \frac{3\pi}{2}$ です。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx \right| + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx$

となります。

まず、各区間の積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \cos x \, dx = [\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \sin \frac{3\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2} = -1 - 1 = -2$

$\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx = [\sin x]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} = \sin 2\pi - \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - (-1) = 1$

したがって、$S = 1 + |-2| + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$

3. 最終的な答え

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