画像には、以下の2つの関数の微分を求める問題が書かれています。 (1) $\frac{d}{dx} \left( -2 \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right)$ (2) $\frac{d}{dx} \left( 2\sin x + x \cos x \right)$

はい、承知いたしました。画像に書かれている2つの問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、以下の2つの関数の微分を求める問題が書かれています。

(1) $\frac{d}{dx} \left( -2 \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right)$

(2) $\frac{d}{dx} \left( 2\sin x + x \cos x \right)$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{d}{dx} \left( -2 \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right)$

まず、定数-2を微分の外に出します。

$-2 \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right)$

次に、商の微分公式を使います。商の微分公式は、$\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$です。ここで、$u = \sin x$、$v = \cos^3 x$とします。

$u' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos^3 x) = 3\cos^2 x (-\sin x) = -3\sin x \cos^2 x$

これらを商の微分公式に代入します。

$\frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right) = \frac{(\cos x)(\cos^3 x) - (\sin x)(-3\sin x \cos^2 x)}{(\cos^3 x)^2}$

$= \frac{\cos^4 x + 3\sin^2 x \cos^2 x}{\cos^6 x}$

$= \frac{\cos^2 x(\cos^2 x + 3\sin^2 x)}{\cos^6 x}$

$= \frac{\cos^2 x + 3\sin^2 x}{\cos^4 x}$

$= \frac{\cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x)}{\cos^4 x}$

$= \frac{\cos^2 x + 3 - 3\cos^2 x}{\cos^4 x}$

$= \frac{3 - 2\cos^2 x}{\cos^4 x}$

したがって、

$-2 \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin x}{\cos^3 x} \right) = -2 \frac{3 - 2\cos^2 x}{\cos^4 x} = \frac{4\cos^2 x - 6}{\cos^4 x}$

(2) $\frac{d}{dx} \left( 2\sin x + x \cos x \right)$

まず、微分の線形性を使って、微分を分けます。

$\frac{d}{dx} (2\sin x) + \frac{d}{dx} (x \cos x)$

$2 \frac{d}{dx} (\sin x) + \frac{d}{dx} (x \cos x)$

積の微分公式を使います。積の微分公式は、$\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv'$です。ここで、$u = x$、$v = \cos x$とします。

$u' = \frac{d}{dx}(x) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$

これらを積の微分公式に代入します。

$\frac{d}{dx} (x \cos x) = (1)(\cos x) + (x)(-\sin x) = \cos x - x\sin x$

したがって、

$2 \frac{d}{dx} (\sin x) + \frac{d}{dx} (x \cos x) = 2\cos x + \cos x - x\sin x = 3\cos x - x\sin x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4\cos^2 x - 6}{\cos^4 x}$

(2) $3\cos x - x\sin x$