数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = e$, $a_n > 0$, $a_1 a_2 \dots a_n = (a_n)^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a_3$ の値を求める。 (2) $b_n = \log a_n$ とおいて数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。 (3) $\lim_{n \to \infty} (a_1 a_2 \dots a_n)$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = e$, $a_n > 0$, $a_1 a_2 \dots a_n = (a_n)^n$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定められるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a_3$ の値を求める。

(2) $b_n = \log a_n$ とおいて数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

(3) $\lim_{n \to \infty} (a_1 a_2 \dots a_n)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_3$ の値を求める。

$n = 1$ のとき、$a_1 = (a_1)^1$ より $a_1 = e$。

$n = 2$ のとき、$a_1 a_2 = (a_2)^2$ より $e a_2 = (a_2)^2$。$a_2 > 0$ より、$a_2 = e$。

$n = 3$ のとき、$a_1 a_2 a_3 = (a_3)^3$ より $e \cdot e \cdot a_3 = (a_3)^3$。$e^2 a_3 = (a_3)^3$。$a_3 > 0$ より、$(a_3)^2 = e^2$。したがって、$a_3 = e$。

(2) $b_n = \log a_n$ とおいて数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$a_1 a_2 \dots a_n = (a_n)^n$ であるから、両辺の対数をとると、

$\log(a_1 a_2 \dots a_n) = \log((a_n)^n)$

$\log a_1 + \log a_2 + \dots + \log a_n = n \log a_n$

ここで、$b_n = \log a_n$ であるから、

$b_1 + b_2 + \dots + b_n = n b_n$

$b_1 + b_2 + \dots + b_{n-1} = (n-1) b_{n-1}$ ($n \geq 2$)

辺々引くと、$b_n = n b_n - (n-1) b_{n-1}$

$(n-1) b_n = (n-1) b_{n-1}$

$b_n = b_{n-1}$

これは $n \geq 2$ で成り立つ。

$b_1 = \log a_1 = \log e = 1$。

したがって、$b_n = 1$。

(3) $\lim_{n \to \infty} (a_1 a_2 \dots a_n)$ を求める。

$a_1 a_2 \dots a_n = (a_n)^n$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} (a_1 a_2 \dots a_n) = \lim_{n \to \infty} (a_n)^n$

$b_n = \log a_n = 1$ より、$a_n = e^1 = e$。

$\lim_{n \to \infty} (a_n)^n = \lim_{n \to \infty} (e)^n = \lim_{n \to \infty} e^n = \infty$

3. 最終的な答え

$a_3$ の値は $e$ である。

$b_1 = 1$ である。

$\lim_{n \to \infty} (a_1 a_2 \dots a_n) = \infty$ である。