$\int_{0}^{\sqrt{2}} x^3 e^{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\sqrt{2}} x^3 e^{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = x^2$ とおいて置換積分を行います。

このとき、$dt = 2x dx$ となります。

したがって、$x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

積分範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$t = 0^2 = 0$

$x = \sqrt{2}$ のとき、$t = (\sqrt{2})^2 = 2$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int_{0}^{\sqrt{2}} x^3 e^{x^2} dx = \int_{0}^{\sqrt{2}} x^2 e^{x^2} x dx = \int_{0}^{2} t e^t \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} t e^t dt$

次に、部分積分を使って $\int t e^t dt$ を計算します。

$u = t$, $dv = e^t dt$ とおくと、$du = dt$, $v = e^t$ となります。

したがって、

$\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = t e^t - e^t + C$

これを使って、定積分を計算します。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} t e^t dt = \frac{1}{2} [t e^t - e^t]_{0}^{2} = \frac{1}{2} [(2 e^2 - e^2) - (0 e^0 - e^0)] = \frac{1}{2} [e^2 + 1] = \frac{e^2 + 1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2+1}{2}$