関数 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ の $1 \le x \le 2$ の範囲における曲線の長さ $l$ を求め、$l = \frac{\text{(ア)}}{24}$ の形で表したときの(ア)に入る値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}$ の $1 \le x \le 2$ の範囲における曲線の長さ $l$ を求め、$l = \frac{\text{(ア)}}{24}$ の形で表したときの(ア)に入る値を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さを求める公式は、

$l = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$

です。

まず、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{x^3}{3} + \frac{1}{4x}\right) = x^2 - \frac{1}{4x^2}$

次に、$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(x^2 - \frac{1}{4x^2}\right)^2 = x^4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4}$

次に、$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ を計算します。

$1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = 1 + x^4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = x^4 + \frac{1}{2} + \frac{1}{16x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{4x^2}\right)^2$

次に、$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}$ を計算します。

$\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} = \sqrt{\left(x^2 + \frac{1}{4x^2}\right)^2} = x^2 + \frac{1}{4x^2}$

曲線の長さを求める積分を計算します。

$l = \int_1^2 \left(x^2 + \frac{1}{4x^2}\right) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{1}{4x}\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{7}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{56 + 6 - 3}{24} = \frac{59}{24}$

したがって、(ア) = 59

3. 最終的な答え

59