$a$ を定数とするとき、方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求める。

2. 解き方の手順

方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ を変形して、$a = (2x - 1)e^x$ とする。

関数 $f(x) = (2x - 1)e^x$ を考える。このとき、方程式 $f(x) = a$ の実数解の個数は、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数に等しい。

$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、$2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$

$f(x)$ の増減表は次のようになる。

| x | ... | -1/2 | ... |

| :--- | :----------- | :--- | :----------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = (-1 - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} (2x - 1)e^x = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = 0$

なぜなら、$t = -x$ とすると、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ であり、

$\lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = \lim_{t \to \infty} (-2t - 1)e^{-t} = \lim_{t \to \infty} \frac{-2t - 1}{e^t} = 0$ (問題文より$\lim_{x\to\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ を用いた)。

したがって、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき 2個

$a \ge 0$ のとき 1個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき 2個

$a \ge 0$ のとき 1個