$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x(1 - \cos x)}$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \tan x}{x(1 - \cos x)}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\tan x$ と $\cos x$ をテイラー展開します。

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7)$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$

これらの展開を元の式に代入すると、

\begin{align*} \label{eq:1} \lim_{x \to 0} \frac{x - (x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + O(x^7))}{x(1 - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)))} &= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{15} + O(x^7)}{x(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6))} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^3}{3} - \frac{2x^5}{15} + O(x^7)}{\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{x^3(-\frac{1}{3} - \frac{2x^2}{15} + O(x^4))}{x^3(\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + O(x^4))} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{3} - \frac{2x^2}{15} + O(x^4)}{\frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + O(x^4)}\end{align*}

$x \to 0$ の極限を取ると、

$$\frac{-\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{3} \cdot 2 = -\frac{2}{3}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{2}{3}$