$a$ は定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ を用いてよい。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。ただし、$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$ を用いてよい。

2. 解き方の手順

方程式を変形して、$a$ を分離する。

$2x - 1 = ae^{-x}$

$a = (2x - 1)e^x$

$f(x) = (2x - 1)e^x$ とおく。

$f(x)$ のグラフを描き、$y = a$ との交点の個数を調べれば、方程式の実数解の個数が分かる。

$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは、$2x + 1 = 0$ のとき、すなわち $x = -\frac{1}{2}$

$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = (-1 - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x - 1}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} -2e^x = 0$

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1/2 | ... |

| :---- | :------------- | :----------- | :------ |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | decrease | minimum | increase |

$f(x)$ の最小値は $f(-\frac{1}{2}) = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

グラフを描くと、$y = a$ との交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$a > -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、2個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$a > -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、2個