$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$2x - 1 = ae^{-x}$ を変形して、$a = (2x - 1)e^x$ とする。

$f(x) = (2x - 1)e^x$ とおき、$y = f(x)$ のグラフを描き、直線 $y = a$ との交点の個数を調べればよい。

$f'(x) = 2e^x + (2x - 1)e^x = (2x + 1)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは $2x + 1 = 0$ より $x = -\frac{1}{2}$ のときである。

増減表は以下のようになる。

| x | ... | -1/2 | ... |

| :--- | :---------- | :-------- | :------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = -\frac{1}{2}$ のとき、

$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x - 1)e^x = 0$

（$\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$ を用いる。）

したがって、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数は、

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a \le 0$ のとき 2個

$a > 0$ のとき 1個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき 1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき 2個

$a \geq 0$ のとき 1個