$a$ を定数とするとき、方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$2x - 1 = ae^{-x}$ を変形して、$a = (2x-1)e^x$ とします。

関数 $f(x) = (2x-1)e^x$ を考えます。

$f(x)$ の増減を調べるために微分します。

$f'(x) = 2e^x + (2x-1)e^x = (2x+1)e^x$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$ のときです。

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1/2 | ... |

| :------ | :------- | :----- | :------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | 減少 | 極小値 | 増加 |

$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2})-1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ です。

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (2x-1)e^x = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-1}{e^{-x}}$

ここで、ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x-1}{e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{-e^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} -2e^x = 0$

したがって、$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ です。

$y = f(x)$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数を考えます。

* $a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解は0個。

* $a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、実数解は1個。

* $-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、実数解は2個。

* $a = 0$ のとき、実数解は1個。

* $a > 0$ のとき、実数解は1個。

3. 最終的な答え

異なる実数解の個数は、

* $a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

* $a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

* $-\frac{2}{\sqrt{e}} < a \le 0$ のとき、2個

* $a > 0$ のとき、1個