定積分 $\int_{0}^{2} \frac{3x+1}{x^2+4} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{3x+1}{x^2+4} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{3x+1}{x^2+4} = \frac{3x}{x^2+4} + \frac{1}{x^2+4}$

よって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} \frac{3x+1}{x^2+4} dx = \int_{0}^{2} \frac{3x}{x^2+4} dx + \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{3x}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{2} \frac{2x}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} [\log(x^2+4)]_{0}^{2} = \frac{3}{2} (\log(8) - \log(4)) = \frac{3}{2} \log(\frac{8}{4}) = \frac{3}{2} \log(2)$

$\int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+4} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{x^2+2^2} dx = [\frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2})]_{0}^{2} = \frac{1}{2} (\arctan(1) - \arctan(0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - 0) = \frac{\pi}{8}$

したがって、

$\int_{0}^{2} \frac{3x+1}{x^2+4} dx = \frac{3}{2} \log(2) + \frac{\pi}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \log 2 + \frac{\pi}{8}$