数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}}$ である。以下の問いに答える。 (1) 一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。 (2) $2^n a_n = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$ を満たす定数 $b, c$ を求めよ。 (3) 初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ および極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、$a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}}$ である。以下の問いに答える。

(1) 一般項 $a_n$ を $n$ の式で表せ。

(2) $2^n a_n = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$ を満たす定数 $b, c$ を求めよ。

(3) 初項 $a_1$ から第 $n$ 項 $a_n$ までの和 $S_n$ および極限値 $\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の一般項は、$a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}}$ となる。

(2) $2^n a_n = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$ に $a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}}$ を代入する。

$2^n \cdot \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}} = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}$

$\frac{2(n+2)}{n(n+1)} = \frac{b(n+1) + cn}{n(n+1)}$

$2(n+2) = b(n+1) + cn$

$2n+4 = (b+c)n + b$

係数を比較すると、$b+c = 2$ かつ $b=4$。

したがって、$b=4$ であり、$c = 2 - b = 2 - 4 = -2$。

(3) $2^n a_n = \frac{4}{n} - \frac{2}{n+1}$ より、$a_n = \frac{1}{2^n} (\frac{4}{n} - \frac{2}{n+1}) = \frac{2}{2^n} (\frac{2}{n} - \frac{1}{n+1})$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}(\frac{4}{k} - \frac{2}{k+1}) = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k}(\frac{2}{k} - \frac{1}{k+1})$

$= 2[(\frac{2}{1} - \frac{1}{2}) \frac{1}{2} + (\frac{2}{2} - \frac{1}{3}) \frac{1}{2^2} + (\frac{2}{3} - \frac{1}{4}) \frac{1}{2^3} + \dots + (\frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}) \frac{1}{2^n}]$

$= 4\sum_{k=1}^n \frac{1}{k2^k} - 2 \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)2^k}$

$=4\sum_{k=1}^n \frac{1}{k2^k} - 4 \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k2^{k-1}} + \frac{4}{(n+1)2^n}$

$=4(\frac{1}{1\cdot2^1} - \frac{1}{(n+1)2^n} - \sum_{k=2}^n \frac{1}{k2^{k-1}} + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k2^k})$

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} = - \log(1-x)$

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k2^k} = \sum_{k=1}^n \frac{(\frac{1}{2})^k}{k} \to \sum_{k=1}^\infty \frac{(\frac{1}{2})^k}{k} = -\log(1-\frac{1}{2}) = -\log(\frac{1}{2}) = \log 2$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{k2^k} - \frac{1}{(k+1)2^k}$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{k=1}^\infty a_k = 2$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{n+2}{n(n+1)2^{n-1}}$

(2) $b=4, c=-2$

(3) $\lim_{n \to \infty} S_n = 2$