$a$ は定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。方程式 $2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

方程式を変形して、$a$ について解くことを考えます。

$2x - 1 = ae^{-x}$ より、

$a = (2x - 1)e^{x}$

ここで、$f(x) = (2x - 1)e^{x}$ とおき、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数を調べます。

$f'(x) = 2e^{x} + (2x - 1)e^{x} = (2x + 1)e^{x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -\frac{1}{2}$ のときです。

$f(x)$ の増減表は次のようになります。

| x | ... | -1/2 | ... |

| :--- | :-------- | :------ | :-------- |

| f'(x) | - | 0 | + |

| f(x) | ↓ | 極小 | ↑ |

$f(-\frac{1}{2}) = (2(-\frac{1}{2}) - 1)e^{-\frac{1}{2}} = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ (∵ $e^x$ の増加より $2x-1$ の減少の方が緩やか)

したがって、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数は以下のようになります。

* $a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

* $a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

* $-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

* $a = 0$ のとき、1個

* $a > 0$ のとき、2個

3. 最終的な答え

* $a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

* $a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

* $-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

* $a = 0$ のとき、1個

* $a > 0$ のとき、2個