$a$を定数とする。方程式$2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。方程式$2x - 1 = ae^{-x}$ の異なる実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$2x - 1 = ae^{-x}$を変形して、

$a = e^x(2x - 1)$

とおく。

$f(x) = e^x(2x - 1)$とおき、$y=f(x)$のグラフを描く。

$y=a$との交点の個数が、求める実数解の個数になる。

$f'(x) = e^x(2x - 1) + e^x \cdot 2 = e^x(2x + 1)$

$f'(x) = 0$とすると、$x = -\frac{1}{2}$

$x < -\frac{1}{2}$のとき、$f'(x) < 0$

$x > -\frac{1}{2}$のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$x = -\frac{1}{2}$で極小値をとる。

極小値は$f(-\frac{1}{2}) = e^{-\frac{1}{2}}(2 \cdot (-\frac{1}{2}) - 1) = -2e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{e}}$

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} e^x(2x - 1) = \infty$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} e^x(2x - 1) = 0$

なぜなら、$t = -x$とおくと、$x \to -\infty$のとき$t \to \infty$となり、

$\lim_{x \to -\infty} e^x(2x - 1) = \lim_{t \to \infty} e^{-t}(-2t - 1) = \lim_{t \to \infty} \frac{-2t - 1}{e^t} = 0$

（$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0$より）

したがって、$y=f(x)$のグラフと$y=a$のグラフの交点の個数は

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

$a \ge 0$ のとき、1個

3. 最終的な答え

$a < -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、0個

$a = -\frac{2}{\sqrt{e}}$ のとき、1個

$-\frac{2}{\sqrt{e}} < a < 0$ のとき、2個

$a \ge 0$ のとき、1個