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関数 $f(x) = \log(\sqrt{x^2 + 1})$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

解析学導関数対数関数合成関数微分
2025/8/4

1. 問題の内容

関数 f(x)=log⁡(x2+1)f(x) = \log(\sqrt{x^2 + 1}) の導関数 f′(x)f'(x) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を適用します。
f(x)=log⁡(g(x))f(x) = \log(g(x)) のとき、f′(x)=g′(x)g(x)f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} となります。
ここで、g(x)=x2+1g(x) = \sqrt{x^2 + 1} です。
さらに、g(x)=h(x)g(x) = \sqrt{h(x)} とおくと、h(x)=x2+1h(x) = x^2 + 1 であり、g′(x)=h′(x)2h(x)g'(x) = \frac{h'(x)}{2\sqrt{h(x)}} となります。
h′(x)=2xh'(x) = 2x なので、
g′(x)=2x2x2+1=xx2+1g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
したがって、
f′(x)=g′(x)g(x)=xx2+1x2+1=x(x2+1)2=xx2+1f'(x) = \frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{(\sqrt{x^2 + 1})^2} = \frac{x}{x^2 + 1}

3. 最終的な答え

f′(x)=xx2+1f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

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